Как можно доказать, что при условии a < b < c выполняется неравенство a < 1/3 (a + b + c) < c?

Алгебра 10 класс Неравенства неравенство доказательство алгебра 10 класс условия a < b < c 1/3 (a + b + c) Новый

Чтобы доказать неравенство a < 1/3 (a + b + c) < c при условии a < b < c, мы разобьем задачу на два этапа: сначала докажем, что a < 1/3 (a + b + c), а затем, что 1/3 (a + b + c) < c.

Шаг 1: Доказательство неравенства a < 1/3 (a + b + c)

Начнем с выражения 1/3 (a + b + c):

1/3 (a + b + c) = (a + b + c) / 3.

Теперь умножим обе стороны неравенства a < 1/3 (a + b + c) на 3 (это допустимо, так как 3 положительно):

3a < a + b + c.

Переносим 3a в правую часть:

0 < b + c - 2a.

Теперь, учитывая, что a < b и a < c, мы можем сказать, что b - a > 0 и c - a > 0. Это означает, что:

• b + c - 2a = (b - a) + (c - a) > 0 + 0 = 0.

Таким образом, мы доказали, что a < 1/3 (a + b + c).

Шаг 2: Доказательство неравенства 1/3 (a + b + c) < c

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства 1/3 (a + b + c) < c:

Умножим обе стороны на 3:

a + b + c < 3c.

Переносим c в левую часть:

a + b < 2c.

Поскольку a < b < c, мы можем сказать, что:

• a + b < b + b = 2b,
• и так как b < c, то 2b < 2c.

Таким образом, a + b < 2c, что подтверждает неравенство 1/3 (a + b + c) < c.

Заключение:

Мы доказали оба неравенства:

• a < 1/3 (a + b + c),
• 1/3 (a + b + c) < c.

Следовательно, при условии a < b < c выполняется неравенство a < 1/3 (a + b + c) < c.