Как можно решить неравенство: 2 cos^2 x – √3 sin x + 1 ≤ 0?

Алгебра 10 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства алгебра 10 класс 2 cos^2 x √3 sin x неравенства в алгебре методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства 2 cos² x – √3 sin x + 1 ≤ 0, сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

Мы знаем, что cos² x = 1 - sin² x. Подставим это в неравенство:

1. Заменим cos² x:

2(1 - sin² x) - √3 sin x + 1 ≤ 0

2. Раскроем скобки:

2 - 2 sin² x - √3 sin x + 1 ≤ 0

3. Соберем все члены в одну сторону:

-2 sin² x - √3 sin x + 3 ≤ 0

Теперь умножим все неравенство на -1, не забывая поменять знак на противоположный:

2 sin² x + √3 sin x - 3 ≥ 0

Теперь обозначим sin x как t, тогда неравенство принимает вид:

2t² + √3t - 3 ≥ 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

1. Используем формулу корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 2, b = √3, c = -3.

2. Вычислим дискриминант:

D = (√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27.

3. Теперь найдем корни:

t₁ = ( -√3 + √27 ) / 4 = ( -√3 + 3√3 ) / 4 = (2√3) / 4 = √3 / 2.

t₂ = ( -√3 - √27 ) / 4 = ( -√3 - 3√3 ) / 4 = (-4√3) / 4 = -√3.

Теперь у нас есть два корня: t₁ = √3 / 2 и t₂ = -√3.

Затем определим интервалы, на которых неравенство выполняется:

• Найдем знаки функции 2t² + √3t - 3 в интервалах (-∞, -√3), (-√3, √3/2) и (√3/2, +∞).
• Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• Для t < -√3 (например, t = -2): 2(-2)² + √3(-2) - 3 = 8 - 2√3 - 3 > 0.
• Для -√3 < t < √3/2 (например, t = 0): 2(0)² + √3(0) - 3 = -3 < 0.
• Для t > √3/2 (например, t = 1): 2(1)² + √3(1) - 3 = 2 + √3 - 3 > 0.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

-√3 ≤ t ≤ √3/2.

Теперь вернемся к переменной sin x:

-√3 ≤ sin x ≤ √3/2.

Так как sin x принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то мы можем записать окончательное решение:

-√3 ≤ sin x ≤ √3/2.

Теперь найдем соответствующие углы x:

• Для sin x = -√3: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sin x = √3/2: x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ.

Таким образом, полное решение неравенства 2 cos² x – √3 sin x + 1 ≤ 0 будет в виде:

x ∈ [7π/6 + 2kπ, 2π/3 + 2kπ] ∪ [π/3 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ], где k - целое число.