Как решить неравенство: Cos2x + cosx ≥ 0?

Алгебра 10 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства cos2x cosX алгебра Тригонометрия неравенства математические задачи методы решения примеры неравенств Новый

Чтобы решить неравенство cos(2x) + cos(x) ≥ 0, следуем следующим шагам:

1. Используем формулу двойного угла: Вспомним, что cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Подставим это в неравенство:
• Получаем: 2cos²(x) - 1 + cos(x) ≥ 0.
2. Приводим неравенство к стандартному виду: Перепишем неравенство:
• 2cos²(x) + cos(x) - 1 ≥ 0.
3. Обозначим переменную: Пусть y = cos(x). Тогда неравенство примет вид:
• 2y² + y - 1 ≥ 0.
4. Решаем квадратное неравенство: Для этого найдем корни уравнения 2y² + y - 1 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• Корни уравнения: y₁ = (-b + √D) / (2a) и y₂ = (-b - √D) / (2a).
• Подставляем: y₁ = (−1 + 3) / 4 = 0.5 и y₂ = (−1 - 3) / 4 = -1.
5. Определяем интервалы: Теперь мы знаем, что корни неравенства -1 и 0.5. Разделим числовую прямую на интервалы:
• (-∞, -1)
• (-1, 0.5)
• (0.5, +∞)
6. Проверяем знаки на интервалах: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:
• Для x < -1 (например, y = -2): 2(-2)² + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 (положительно).
• Для -1 < x < 0.5 (например, y = 0): 2(0)² + (0) - 1 = -1 (отрицательно).
• Для x > 0.5 (например, y = 1): 2(1)² + (1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительно).
7. Составляем ответ: Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -1] и [0.5, +∞).
8. Возвращаемся к переменной y: Поскольку y = cos(x), нам нужно найти, для каких x выполняются эти условия:
• cos(x) ≤ -1 не имеет решений, так как косинус не может быть меньше -1.
• cos(x) ≥ 0.5, что соответствует углам: x = 2πn ± π/3, где n - целое число.

Таким образом, решение неравенства cos(2x) + cos(x) ≥ 0 можно записать как:

x = 2πn ± π/3, где n - целое число.