Как можно решить уравнение (√3x-5) - (√4-x) = 1?

Алгебра 10 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 10 класс уравнение с корнями математические задачи квадратные корни алгебраические уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения (√(3x - 5)) - (√(4 - x)) = 1, давайте следовать пошагово.

1. Изолируем один из корней.

   Переносим (√(4 - x)) на правую сторону:

   √(3x - 5) = 1 + √(4 - x)

2. Возводим обе стороны в квадрат.

   Это поможет избавиться от корней:

   (√(3x - 5))² = (1 + √(4 - x))²

   Получаем:

   3x - 5 = 1 + 2√(4 - x) + (4 - x)

   Упрощаем правую часть:

   3x - 5 = 5 - x + 2√(4 - x)

3. Собираем все члены на одной стороне.

   Переносим все элементы влево:

   3x - 5 - 5 + x = 2√(4 - x)

   Объединяем подобные:

   4x - 10 = 2√(4 - x)

4. Изолируем корень.

   Делим обе стороны на 2:

   2x - 5 = √(4 - x)

5. Возводим обе стороны в квадрат снова.

   Получаем:

   (2x - 5)² = (√(4 - x))²

   Раскрываем квадрат:

   4x² - 20x + 25 = 4 - x

6. Собираем все члены в одно уравнение.

   Переносим все элементы влево:

   4x² - 20x + x + 25 - 4 = 0

   Упрощаем:

   4x² - 19x + 21 = 0

7. Решаем квадратное уравнение.

   Используем дискриминант:

   D = b² - 4ac = (-19)² - 4 * 4 * 21

   D = 361 - 336 = 25

   Так как D > 0, у уравнения два корня:

   x = (19 ± √25) / (2 * 4)

   x = (19 ± 5) / 8

   Находим корни:

   • x₁ = (19 + 5) / 8 = 24 / 8 = 3
   • x₂ = (19 - 5) / 8 = 14 / 8 = 1.75
8. Проверяем корни в исходном уравнении.

   Подставляем x₁ = 3:

   √(3*3 - 5) - √(4 - 3) = √(9 - 5) - √(1) = √4 - 1 = 2 - 1 = 1. Верно.

   Подставляем x₂ = 1.75:

   √(3*1.75 - 5) - √(4 - 1.75) = √(5.25 - 5) - √(2.25) = √0.25 - 1.5 = 0.5 - 1.5 ≠ 1. Не верно.

Таким образом, единственный корень уравнения: x = 3.