Как можно решить уравнение, используя метод разложения на множители?

Уравнение: x³ + x² - 9x - 9 = 0

Алгебра 10 класс Разложение на множители решение уравнения метод разложения на множители алгебра 10 класс уравнение x³ + x² - 9x - 9 факторы уравнения разложение на множители алгебраические уравнения решение кубического уравнения Новый

Чтобы решить уравнение x³ + x² - 9x - 9 = 0 методом разложения на множители, следуем следующему плану:

1. Поиск корней уравнения: Сначала попробуем найти хотя бы один корень уравнения. Для этого можно использовать метод подбора. Подберем значения x и проверим, при каком значении уравнение будет равно нулю.
2. Подбор корней: Проверим, например, x = -3:
• (-3)³ + (-3)² - 9*(-3) - 9 = -27 + 9 + 27 - 9 = 0.
3. Таким образом, x = -3 является корнем уравнения.
4. Разложение на множители: Теперь, зная один корень, можем разложить многочлен на множители. Если x = -3 является корнем, то можно записать:
• x + 3 - это один из множителей.
5. Деление многочлена: Теперь нужно разделить многочлен x³ + x² - 9x - 9 на x + 3. Используем деление многочленов:
• Первый шаг: x³ делим на x, получаем x².
• Умножаем x² на (x + 3): x² * (x + 3) = x³ + 3x².
• Вычитаем: (x³ + x²) - (x³ + 3x²) = -2x².
• Теперь опускаем -9x и -9: -2x² - 9x - 9.
• Делим -2x² на x, получаем -2x.
• Умножаем -2x на (x + 3): -2x * (x + 3) = -2x² - 6x.
• Вычитаем: (-2x² - 9x) - (-2x² - 6x) = -3x.
• Опускаем -9: -3x - 9.
• Делим -3x на x, получаем -3.
• Умножаем -3 на (x + 3): -3 * (x + 3) = -3x - 9.
• Вычитаем: (-3x - 9) - (-3x - 9) = 0.
6. Таким образом, мы получили: x³ + x² - 9x - 9 = (x + 3)(x² - 2x - 3).
7. Дальнейшее разложение: Теперь нужно разложить второй множитель x² - 2x - 3. Для этого найдем его корни:
• Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
• Находим дискриминант: D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
• Теперь находим корни: x = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
• Корни: x₁ = 3 и x₂ = -1.
8. Записываем окончательное разложение: Таким образом, уравнение можно записать в виде:
• x³ + x² - 9x - 9 = (x + 3)(x - 3)(x + 1).
9. Находим все корни уравнения: Теперь можем записать все корни уравнения:
• x₁ = -3, x₂ = 3, x₃ = -1.

Таким образом, все корни уравнения x³ + x² - 9x - 9 = 0 - это x = -3, x = 3, x = -1.