Как можно решить уравнение log₁₆x + log₄x + log₂x = 7?

Алгебра 10 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы алгебра 10 класс log₁₆x log₄x log2x математические уравнения свойства логарифмов алгебраические задачи обучение алгебре Новый

Для решения уравнения log₁₆x + log₄x + log₂x = 7 начнем с преобразования логарифмов к одному основанию. В данном случае, удобнее всего использовать основание 2, так как все указанные основания являются степенями двойки.

Напомним некоторые свойства логарифмов:

• logₐb = logₓb / logₓa, где x - любое положительное число.
• logₐ(a^n) = n.

Теперь преобразуем каждый логарифм:

1. log₁₆x: так как 16 = 2^4, мы можем записать:

log₁₆x = log₂x / log₂16 = log₂x / 4.

2. log₄x: аналогично, так как 4 = 2^2:

log₄x = log₂x / log₂4 = log₂x / 2.

3. log₂x оставим без изменений.

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

log₂x / 4 + log₂x / 2 + log₂x = 7.

Приведем логарифмы к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 2 и 1 будет 4:

(log₂x / 4) + (2 * log₂x / 4) + (4 * log₂x / 4) = 7.

Теперь объединяем все логарифмы:

(1/4 + 2/4 + 4/4) * log₂x = 7.

(7/4) * log₂x = 7.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 4/7:

log₂x = 7 * (4/7) = 4.

Теперь найдем значение x, используя определение логарифма:

log₂x = 4 означает, что x = 2^4.

Таким образом, x = 16.

Теперь проверим, подходит ли это значение для исходного уравнения:

• log₁₆(16) = 1,
• log₄(16) = 2,
• log₂(16) = 4.

Теперь подставим:

1 + 2 + 4 = 7.

Уравнение верно, значит, решение:

x = 16.