Как можно вычислить производную функции и определить её значение в указанных точках? Рассмотрим следующие функции:

1. Вычислите производную:
   f'(x)=
   f'(2)=
   Если f(x)=2x³ - x² + 4x - 2
2. Вычислите производную:
   f'(x)=
   f'(1)=
   Если f(x)=2x × log₂(x)
3. Вычислите производную:
   f'(x)=
   f'(0)=
   Если f(x)=x² - 5/(x² - 1)
4. Вычислите производную:
   f'(x)=
   f'(7)=
   Если f(x)=√(8√x)

Пожалуйста, предоставьте полное решение для каждой из функций!

Алгебра 10 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 10 класс производная в точке функции алгебры решение производной производная x² производная логарифма производная корня алгебраические функции Новый

Давайте рассмотрим каждую из указанных функций и найдем их производные, а затем вычислим значение производной в заданных точках.

1. f(x) = 2x³ - x² + 4x - 2

Чтобы найти производную функции f(x), воспользуемся правилом дифференцирования степенных функций:

• Производная x^n = n*x^(n-1).

Теперь вычислим производную:

1. f'(x) = d/dx(2x³) = 6x²
2. f'(x) = d/dx(-x²) = -2x
3. f'(x) = d/dx(4x) = 4
4. f'(x) = d/dx(-2) = 0

Теперь сложим все производные:

f'(x) = 6x² - 2x + 4

Теперь найдем f'(2):

1. f'(2) = 6*(2)² - 2*(2) + 4
2. f'(2) = 6*4 - 4 + 4 = 24 - 4 + 4 = 24.

Ответ: f'(x) = 6x² - 2x + 4; f'(2) = 24.

2. f(x) = 2x × log₂(x)

Для этой функции воспользуемся правилом произведения:

• Если u = 2x и v = log₂(x), то f'(x) = u'v + uv'.

Сначала найдем производные u и v:

1. u' = d/dx(2x) = 2.
2. v' = d/dx(log₂(x)) = 1/(x*ln(2)).

Теперь подставим в формулу:

f'(x) = 2 * log₂(x) + 2x * (1/(x * ln(2))) = 2 * log₂(x) + 2/(ln(2)).

Теперь найдем f'(1):

1. f'(1) = 2 * log₂(1) + 2/(ln(2)) = 0 + 2/(ln(2)) = 2/(ln(2)).

Ответ: f'(x) = 2 * log₂(x) + 2/(ln(2)); f'(1) = 2/(ln(2)).

3. f(x) = x² - 5/(x² - 1)

Здесь мы будем использовать правило дифференцирования для дробей:

• Если u = x² и v = x² - 1, то f'(x) = u' - (u * v')/v².

Сначала найдем производные u и v:

1. u' = d/dx(x²) = 2x.
2. v' = d/dx(x² - 1) = 2x.

Теперь подставим в формулу:

f'(x) = 2x - (-5 * 2x)/(x² - 1)² = 2x + (10x)/(x² - 1)².

Теперь найдем f'(7):

1. f'(7) = 2*(7) + (10*(7))/((7² - 1)²) = 14 + (70)/((49 - 1)²) = 14 + (70)/(48²) = 14 + (70/2304).

Считаем 70/2304, получаем 0.0304 (приблизительно).

Таким образом, f'(7) ≈ 14.0304.

Ответ: f'(x) = 2x + (10x)/(x² - 1)²; f'(7) ≈ 14.0304.

4. f(x) = √(8√x)

Для этой функции сначала упростим выражение:

f(x) = (8√x)^(1/2) = 8^(1/2) * (x^(1/2))^(1/2) = 2 * x^(1/4).

Теперь найдем производную:

1. f'(x) = 2 * (1/4) * x^(-3/4) = (1/2) * x^(-3/4).

Теперь найдем f'(0):

Обратите внимание, что f'(0) не определено, так как при x = 0 мы получаем деление на ноль.

Ответ: f'(x) = (1/2) * x^(-3/4); f'(0) не определено.