Похожие вопросы
2025-02-18 23:16:46
Как найти производную следующих функций: 1) y=cos^2x-sin^2x; 2) y=2sinxcosx; 3) y=sin3xcos5x+cos3xsin5x; 4) y=cos4xcos6x-sin4xsin6x; 5) y=(1-x^3)^5; 6) y=x^3+3x^2-2x+1 (под корнем)?
Нужно решение.
Алгебра 10 класс Производные функций производная функции алгебра решение cos sin x производная cos^2x производная sin^2x производная 2sinxcosx производная sin3xcos5x производная cos4xcos6x производная (1-x^3)^5 производная x^3+3x^2-2x+1
2025-02-18 23:17:05
Давайте разберем, как находить производные для каждой из предложенных функций. Мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило суммы, правило цепи и стандартные производные основных функций.
1) y = cos^2(x) - sin^2(x)Для нахождения производной этой функции используем правило производной сложной функции (цепное правило) и правило производной тригонометрических функций:
- Производная cos^2(x) = 2cos(x)(-sin(x)) = -2cos(x)sin(x).
- Производная sin^2(x) = 2sin(x)cos(x).
- Теперь подставляем в формулу: y' = -2cos(x)sin(x) - 2sin(x)cos(x) = -4sin(x)cos(x).
Здесь также применим правило произведения:
- Производная y = 2(sin(x)cos(x)) = 2(sin(x) * cos(x))'.
- По правилу произведения: (uv)' = u'v + uv', где u = sin(x), v = cos(x).
- Производные: u' = cos(x), v' = -sin(x).
- Тогда: y' = 2(cos(x)cos(x) + sin(x)(-sin(x))) = 2(cos^2(x) - sin^2(x)).
Эта функция является суммой двух произведений, поэтому используем правило произведения:
- y = sin(3x)cos(5x) + cos(3x)sin(5x) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), где a = 3x, b = 5x.
- Производная: y' = (sin(a))'cos(b) + sin(a)(cos(b))' + (cos(a))'sin(b) + cos(a)(sin(b))'.
- Подставляем: y' = 3cos(3x)cos(5x) - 5sin(3x)sin(5x) + (-3sin(3x))sin(5x) + 5cos(3x)cos(5x).
- Упрощаем: y' = 3cos(3x)cos(5x) + 5cos(3x)cos(5x) - 5sin(3x)sin(5x) - 3sin(3x)sin(5x).
Эта функция также может быть представлена как произведение:
- y = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b), где a = 4x, b = 6x.
- Это равно cos(a + b) = cos(10x).
- Теперь находим производную: y' = -10sin(10x).
Здесь используем правило цепи:
- y' = 5(1 - x^3)^4 * (-3x^2).
- Итак, y' = -15x^2(1 - x^3)^4.
Для нахождения производной корня используем правило цепи:
- y = (x^3 + 3x^2 - 2x + 1)^(1/2).
- y' = (1/2)(x^3 + 3x^2 - 2x + 1)^(-1/2) * (3x^2 + 6x - 2).
- Итак, y' = (3x^2 + 6x - 2) / (2√(x^3 + 3x^2 - 2x + 1)).
Это все шаги для нахождения производных указанных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
