Как определить целые решения для неравенства: х² - 4x - 5 < 0?

Алгебра 10 класс Неравенства второй степени неравенство целые решения алгебра х² - 4x - 5 математический анализ решение неравенств Новый

Чтобы решить неравенство х² - 4x - 5 < 0, сначала необходимо найти корни соответствующего уравнения х² - 4x - 5 = 0. Это поможет нам определить, на каких интервалах функция принимает отрицательные значения.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для нахождения корней уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -5.

Подставим значения:

• D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:

• х1 = ( -b + √D ) / (2a) = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5.
• х2 = ( -b - √D ) / (2a) = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь у нас есть корни х1 = 5 и х2 = -1. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, 5)
• (5, +∞)

Шаг 3: Проверим знаки на интервалах

Теперь нужно проверить, на каких интервалах функция х² - 4x - 5 принимает отрицательные значения. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем точку х = -2:
• (-2)² - 4*(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 (положительное).
• Для интервала (-1, 5) возьмем точку х = 0:
• (0)² - 4*0 - 5 = -5 (отрицательное).
• Для интервала (5, +∞) возьмем точку х = 6:
• (6)² - 4*6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 (положительное).

Шаг 4: Подводим итог

Таким образом, функция х² - 4x - 5 < 0 на интервале (-1, 5).

Шаг 5: Найдем целые решения

Теперь нам нужно определить целые числа, которые находятся в этом интервале:

• Целые числа в интервале (-1, 5): -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Однако, так как неравенство строгое (< 0), -1 не включается. Следовательно, целые решения неравенства х² - 4x - 5 < 0:

• 0, 1, 2, 3, 4.

Таким образом, целые решения данного неравенства: 0, 1, 2, 3, 4.