Как решить логарифмическое уравнение (3 log8 x + 5) log8 x = 2, где основание логарифма 8? Прошу, помогите!

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения Логарифмическое уравнение решение уравнения основание логарифма 8 алгебра 10 класс логарифмы математика помощь в алгебре Новый

Чтобы решить логарифмическое уравнение (3 log8 x + 5) log8 x = 2, давайте начнем с того, что обозначим log8 x как y. Таким образом, уравнение можно переписать в более простом виде:

Шаг 1: Замена переменной

Пусть y = log8 x. Тогда уравнение принимает вид:

(3y + 5)y = 2.

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Раскроем скобки:

3y^2 + 5y - 2 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 3, b = 5, c = -2.

Подставим значения:

• b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49.
• √(49) = 7.

Теперь подставим в формулу:

• y1 = (-5 + 7) / (2 * 3) = 2 / 6 = 1/3,
• y2 = (-5 - 7) / (2 * 3) = -12 / 6 = -2.

Шаг 4: Обратная замена

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 1/3 и y2 = -2.

Вернемся к нашей замене y = log8 x:

• log8 x = 1/3,
• log8 x = -2.

Шаг 5: Найдем x

Для первого случая:

• log8 x = 1/3 означает, что x = 8^(1/3) = 2.

Для второго случая:

• log8 x = -2 означает, что x = 8^(-2) = 1/64.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, уравнение (3 log8 x + 5) log8 x = 2 имеет два решения:

• x = 2,
• x = 1/64.