Как решить неравенство: x^2 - 3x + 2 < x + 3?

Алгебра 10 класс Неравенства решение неравенства алгебра 10 класс x^2 - 3x + 2 неравенство с x алгебраические выражения Новый

Чтобы решить неравенство x^2 - 3x + 2 < x + 3, начнем с преобразования неравенства так, чтобы все члены оказались с одной стороны. Для этого вычтем x и 3 из обеих сторон:

x^2 - 3x + 2 - x - 3 < 0

Теперь упростим левую часть:

x^2 - 4x - 1 < 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x^2 - 4x - 1 = 0. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -4
• c = -1

Теперь подставим значения в формулу:

x = (4 ± √((-4)^2 - 4*1*(-1))) / (2*1)

Сначала вычислим дискриминант:

D = 16 + 4 = 20

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

x = (4 ± √20) / 2

Упростим корень:

√20 = 2√5

Таким образом, корни будут:

x = (4 ± 2√5) / 2

Это можно упростить до:

x = 2 ± √5

Теперь у нас есть два корня:

x1 = 2 - √5

x2 = 2 + √5

Теперь мы можем построить числовую прямую и отметить на ней корни:

Затем определим интервалы:

• (-∞, 2 - √5)
• (2 - √5, 2 + √5)
• (2 + √5, +∞)

Теперь проверим знак выражения x^2 - 4x - 1 в каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, 2 - √5) выберем, например, x = 0:
2. x^2 - 4x - 1 = 0^2 - 4*0 - 1 = -1 (меньше 0)
3. Для интервала (2 - √5, 2 + √5) выберем, например, x = 2:
4. x^2 - 4x - 1 = 2^2 - 4*2 - 1 = -5 (меньше 0)
5. Для интервала (2 + √5, +∞) выберем, например, x = 5:
6. x^2 - 4x - 1 = 5^2 - 4*5 - 1 = 6 (больше 0)

Теперь мы знаем, что неравенство x^2 - 4x - 1 < 0 выполняется в интервалах:

(-∞, 2 - √5) и (2 - √5, 2 + √5)

Таким образом, окончательный ответ на неравенство x^2 - 3x + 2 < x + 3:

x ∈ (-∞, 2 - √5) ∪ (2 - √5, 2 + √5)