Чтобы решить неравенство (x-3)(x+½) < 0, давайте пройдемся по шагам. Мы будем искать, при каких значениях x произведение (x-3)(x+½) меньше нуля.

Сначала найдем точки, в которых произведение равно нулю. Для этого решим уравнение:

• x - 3 = 0 → x = 3
• x + ½ = 0 → x = -½

Таким образом, у нас есть два корня: x = 3 и x = -½.

Теперь, используя найденные корни, разделим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, -½)
• (-½, 3)
• (3, +∞)

Теперь мы проверим знак произведения (x-3)(x+½) на каждом из этих интервалов, выбрав тестовые точки.

1. Для интервала (-∞, -½), например, возьмем x = -1:
• (-1 - 3)(-1 + ½) = (-4)(-½) = 2 (положительное)
2. Для интервала (-½, 3), например, возьмем x = 0:
• (0 - 3)(0 + ½) = (-3)(½) = -1.5 (отрицательное)
3. Для интервала (3, +∞), например, возьмем x = 4:
• (4 - 3)(4 + ½) = (1)(4.5) = 4.5 (положительное)

Теперь мы знаем, что произведение (x-3)(x+½) отрицательно на интервале (-½, 3). Поскольку неравенство строгое (< 0), мы не включаем сами точки, где произведение равно нулю.

Таким образом, решение неравенства (x-3)(x+½) < 0:

x ∈ (-½, 3)