Чтобы решить неравенство (x^5)(x-7) < 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это неравенство по частям.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Для начала, найдем значения x, при которых выражение (x^5)(x-7) равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

• x^5 = 0, что дает x = 0;
• x - 7 = 0, что дает x = 7.

Таким образом, нули выражения: x = 0 и x = 7.

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы с учетом найденных нулей:

• (-∞, 0);
• (0, 7);
• (7, +∞).

Шаг 3: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения (x^5)(x-7) на каждом из интервалов. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

1. Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
• (-1^5)(-1-7) = (-1)(-8) = 8 > 0.
2. Для интервала (0, 7) возьмем x = 1:
• (1^5)(1-7) = (1)(-6) = -6 < 0.
3. Для интервала (7, +∞) возьмем x = 8:
• (8^5)(8-7) = (32768)(1) = 32768 > 0.

Шаг 4: Подведем итоги

Теперь мы имеем информацию о знаках выражения на каждом интервале:

• (-∞, 0): положительное;
• (0, 7): отрицательное;
• (7, +∞): положительное.

Шаг 5: Запишем ответ

Мы ищем, где (x^5)(x-7) < 0. Это происходит в интервале (0, 7).

Таким образом, решением неравенства (x^5)(x-7) < 0 является:

Ответ: (0, 7).