Как решить неравенство (x²-6x+5)(x²-4)≤0 и определить корни, а также промежутки, в которых оно выполняется?

Алгебра 10 класс Неравенства решение неравенства корни неравенства промежутки решения алгебра 10 класс неравенства с квадратными выражениями Новый

Чтобы решить неравенство (x² - 6x + 5)(x² - 4) ≤ 0, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти корни каждого множителя

Сначала найдем корни каждого из множителей отдельно.

• Для первого множителя x² - 6x + 5 = 0:

Мы можем разложить на множители:

• x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0

Таким образом, корни: x = 1 и x = 5.

• Для второго множителя x² - 4 = 0:

Это разность квадратов, которую можно разложить:

• x² - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0

Корни здесь: x = 2 и x = -2.

Шаг 2: Записать все корни

Теперь у нас есть все корни:

• x = 1
• x = 5
• x = 2
• x = -2

Шаг 3: Построить числовую прямую

Наносим все корни на числовую прямую:

• -2, 1, 2, 5

Шаг 4: Определить знаки на промежутках

Теперь необходимо проверить знаки выражения (x² - 6x + 5)(x² - 4) на каждом из промежутков, образованных корнями:

• Промежуток (-∞, -2)
• Промежуток (-2, 1)
• Промежуток (1, 2)
• Промежуток (2, 5)
• Промежуток (5, +∞)

Шаг 5: Проверить каждый промежуток

Выберем по одному тестовому значению из каждого промежутка и подставим в неравенство:

• Для промежутка (-∞, -2), например, x = -3:
• (-3² - 6*(-3) + 5)(-3² - 4) = (9 + 18 + 5)(9 - 4) = 32 * 5 > 0
• Для промежутка (-2, 1), например, x = 0:
• (0² - 6*0 + 5)(0² - 4) = (5)(-4) < 0
• Для промежутка (1, 2), например, x = 1.5:
• ((1.5)² - 6*1.5 + 5)((1.5)² - 4) = (2.25 - 9 + 5)(2.25 - 4) = (-1.75)(-1.75) > 0
• Для промежутка (2, 5), например, x = 3:
• ((3)² - 6*3 + 5)((3)² - 4) = (9 - 18 + 5)(9 - 4) = (-4)(5) < 0
• Для промежутка (5, +∞), например, x = 6:
• ((6)² - 6*6 + 5)((6)² - 4) = (36 - 36 + 5)(36 - 4) = (5)(32) > 0

Шаг 6: Составить итоговые промежутки

Теперь мы можем определить, где неравенство выполняется:

• Знак отрицательный на промежутках: (-2, 1) и (2, 5).
• Неравенство также выполняется в точках, где произведение равно нулю: x = -2, x = 1, x = 2, x = 5.

Итог:

Неравенство (x² - 6x + 5)(x² - 4) ≤ 0 выполняется на промежутках:

• [-2, 1] ∪ [2, 5]