Как решить систему уравнений: x² - xy = -3 и y² - xy = 12?

Алгебра 10 класс Системы уравнений система уравнений решить уравнения алгебра 10 класс x² - xy = -3 y² - xy = 12 методы решения уравнений Новый

Для решения системы уравнений:

1) x² - xy = -3

2) y² - xy = 12

начнем с того, что выразим одно из переменных через другое. В данном случае, давайте выразим y через x из первого уравнения.

1. Перепишем первое уравнение:
2. x² - xy + 3 = 0.
3. Это квадратное уравнение относительно y. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
4. y = (x ± √(D)) / 2a, где D - дискриминант.
5. В нашем случае, a = -x, b = x² + 3, D = b² - 4ac = (x² + 3)² - 4(-x)(0) = (x² + 3)².

Теперь выразим y:

y = (x ± √((x² + 3)²)) / (2(-x)).

Теперь подставим это значение y во второе уравнение:

y² - xy = 12

Подставляем y:

((x ± √((x² + 3)²)) / (2(-x)))² - x((x ± √((x² + 3)²)) / (2(-x))) = 12.

Это уравнение довольно сложное, поэтому давайте попробуем другой подход. Вместо этого, мы можем вычесть первое уравнение из второго:

y² - xy - (x² - xy) = 12 - (-3).

Это упростится до:

y² - x² = 15.

Теперь мы можем разложить это уравнение:

(y - x)(y + x) = 15.

Теперь рассмотрим возможные пары множителей числа 15:

• (1, 15)
• (3, 5)
• (-1, -15)
• (-3, -5)

Каждую пару множителей мы можем использовать для создания системы уравнений:

1. y - x = 1 и y + x = 15
2. y - x = 3 и y + x = 5
3. y - x = -1 и y + x = -15
4. y - x = -3 и y + x = -5

Решим первую пару:

1) y - x = 1
2) y + x = 15

Сложим эти два уравнения:

2y = 16
y = 8.

Теперь подставим значение y в одно из уравнений, например, во второе:

8 + x = 15
x = 7.

Таким образом, одна из возможных пар (x, y) равна (7, 8).

Теперь проверим, подходят ли эти значения для второго уравнения:

y² - xy = 12
8² - 7*8 = 12
64 - 56 = 12. Это верно.

Теперь решим вторую пару:

1) y - x = 3
2) y + x = 5

Сложим эти два уравнения:

2y = 8
y = 4.

Теперь подставим значение y в одно из уравнений:

4 + x = 5
x = 1.

Таким образом, еще одна пара (x, y) равна (1, 4).

Проверим для второго уравнения:

y² - xy = 12
4² - 1*4 = 12
16 - 4 = 12. Это верно.

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

• (7, 8)
• (1, 4)

Итак, мы нашли все возможные пары (x, y), которые удовлетворяют данной системе уравнений.