Давайте разберем, как решить уравнение ㏒_1/5(x² - 4x) = -1.

Уравнение включает в себя логарифм с основанием 1/5, и его нужно решить поэтапно. Давайте начнем:

1. Понимание логарифма: У нас есть уравнение ㏒_1/5(x² - 4x) = -1. Это означает, что выражение x² - 4x должно равняться (1/5) в степени -1.
2. Преобразование логарифмического уравнения в показательное: По определению логарифма, если ㏒_ab = c, то a^c = b. Применим это к нашему уравнению:
• Основание a = 1/5,
• Показатель c = -1,
• Искомое значение b = x² - 4x.

Таким образом, (1/5)^-1 = x² - 4x.

3. Вычисление (1/5)^-1: (1/5)^-1 — это то же самое, что 5, потому что отрицательная степень означает взятие обратного числа.
4. Получаем уравнение: Теперь у нас есть уравнение x² - 4x = 5.
5. Решение квадратного уравнения: Преобразуем уравнение в стандартный вид:
• x² - 4x - 5 = 0.
6. Нахождение корней квадратного уравнения: Мы можем решить это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -4, c = -5.

7. Вычисления:
• Сначала найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Корень из дискриминанта: √36 = 6.
• Теперь найдем корни:
• x₁ = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5,
• x₂ = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.
8. Проверка корней: Подставим x₁ = 5 и x₂ = -1 в исходное выражение x² - 4x, чтобы убедиться, что они не дают отрицательного или нулевого значения, так как логарифм от нуля или отрицательного числа не определен.
• Для x₁ = 5: 5² - 4*5 = 25 - 20 = 5 (все нормально, число положительное).
• Для x₂ = -1: (-1)² - 4*(-1) = 1 + 4 = 5 (тоже положительное).

Таким образом, оба корня, x = 5 и x = -1, являются решениями данного уравнения. Ответ: x = 5 и x = -1.