Как решить уравнение: 1/(5-lgx) + 2/(1+lgx) = 1?

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 10 класс Логарифмическое уравнение уравнения с логарифмами математические задачи Новый

Для решения уравнения 1/(5 - lgx) + 2/(1 + lgx) = 1 начнем с приведения его к общему знаменателю.

Шаг 1: Определим общий знаменатель. В данном случае это будет произведение (5 - lgx)(1 + lgx).

Шаг 2: Перепишем уравнение с общим знаменателем:

• Левая часть уравнения станет:
• 1 * (1 + lgx) + 2 * (5 - lgx) = (1 + lgx) + 2(5 - lgx)

Шаг 3: Раскроем скобки:

• (1 + lgx) + (10 - 2lgx) = 11 - lgx

Шаг 4: Теперь приравняем это к правой части уравнения, которая равна 1, и запишем уравнение:

11 - lgx = (5 - lgx)(1 + lgx)

Шаг 5: Раскроем правую часть уравнения:

• (5 - lgx)(1 + lgx) = 5 + 5lgx - lgx - (lgx)^2 = 5 + 4lgx - (lgx)^2

Шаг 6: Теперь у нас есть уравнение:

11 - lgx = 5 + 4lgx - (lgx)^2

Шаг 7: Переносим все члены в одну сторону:

(lgx)^2 - 5lgx + 6 = 0

Шаг 8: Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Шаг 9: Найдем корни уравнения:

• lgx1 = (5 + sqrt(1)) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
• lgx2 = (5 - sqrt(1)) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

Шаг 10: Теперь найдем значения x:

• x1 = 10^3 = 1000
• x2 = 10^2 = 100

Шаг 11: Проверим найденные значения x на наличие логарифмических ограничений:

• lgx1 = 3, lgx2 = 2 - оба значения допустимы, так как x > 0.

Таким образом, решения уравнения:

• x1 = 1000
• x2 = 100