Как решить уравнение: 5^(x^2-15)=25^x?

Алгебра 10 класс Уравнения с показателями решение уравнения алгебра 5^(x^2-15)=25^x уравнения с переменной математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 5^(x^2-15) = 25^x, давайте сначала упростим его. Мы заметим, что 25 можно представить как 5 в квадрате, то есть 25 = 5^2. Это поможет нам привести обе стороны уравнения к одной базе.

Теперь перепишем 25^x:

• 25^x = (5^2)^x = 5^(2x).

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

5^(x^2-15) = 5^(2x).

Так как у нас одинаковая база (5), мы можем приравнять показатели:

x^2 - 15 = 2x.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

x^2 - 2x - 15 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы будем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -15.

Сначала найдем дискриминант:

• b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

• x = (2 ± √64) / 2.
• √64 = 8, поэтому x = (2 ± 8) / 2.

Теперь найдем два корня:

• x1 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
• x2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3.

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 5
• x = -3

Ответ: x = 5 и x = -3.