Как решить уравнение cos2x - sin2x = 0 и найти все корни уравнения, которые принадлежат промежутку [pi/4; 9pi/4]?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрических функций решить уравнение cos2x sin2x корни уравнения промежуток Pi/4 9pi/4 алгебра Новый

Решим уравнение cos(2x) - sin(2x) = 0. Это уравнение можно упростить, используя тригонометрические идентичности.

Первый шаг – перенести sin(2x) на правую сторону уравнения:

• cos(2x) = sin(2x)

Теперь мы можем воспользоваться тем, что cos(α) = sin(α) при условии, что α = π/4 + kπ, где k – любое целое число. В нашем случае α = 2x. Таким образом, мы можем записать:

• 2x = π/4 + kπ

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2, чтобы выразить x:

• x = π/8 + kπ/2

Теперь найдем все корни уравнения, которые принадлежат промежутку [π/4; 9π/4].

Подставим различные значения k и проверим, попадают ли полученные значения x в заданный промежуток:

• Для k = 0: x = π/8 (не входит в [π/4; 9π/4])
• Для k = 1: x = π/8 + π/2 = 5π/8 (входит в [π/4; 9π/4])
• Для k = 2: x = π/8 + π = 9π/8 (входит в [π/4; 9π/4])
• Для k = 3: x = π/8 + 3π/2 = 13π/8 (входит в [π/4; 9π/4])
• Для k = 4: x = π/8 + 2π = 17π/8 (не входит в [π/4; 9π/4])

Теперь перечислим все корни, которые мы нашли и которые принадлежат заданному промежутку:

• x = 5π/8
• x = 9π/8
• x = 13π/8

Таким образом, все корни уравнения cos(2x) - sin(2x) = 0, которые принадлежат промежутку [π/4; 9π/4], это:

• x = 5π/8
• x = 9π/8
• x = 13π/8