Помогите, пожалуйста, решить следующие уравнения:

1. sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1
2. 2^(2-x) - 2^(x-1) = 1

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрических функций алгебра уравнения решение уравнений синус косинус экспоненциальные уравнения Тригонометрия математические задачи алгебраические уравнения учебные материалы по алгебре Новый

Решим каждое из уравнений по порядку.

1. Уравнение: sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1

Для начала воспользуемся тригономометрической идентичностью для sin(2x):

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) - sin(x) = 2cos(x) - 1.

Теперь вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) - 1) = 2cos(x) - 1.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Случай 1: sin(x) = 0.
2. Случай 2: 2cos(x) - 1 = 0.

Случай 1: sin(x) = 0.

Решения этого уравнения будут:

• x = nπ, где n - целое число.

Случай 2: 2cos(x) - 1 = 0.

Решим это уравнение:

2cos(x) = 1 → cos(x) = 1/2.

Решения этого уравнения:

• x = π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение первого уравнения:

• x = nπ, где n - целое число.
• x = π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

2. Уравнение: 2^(2-x) - 2^(x-1) = 1

Для упрощения этого уравнения можно выразить оба слагаемых через одну и ту же базу. Начнем с преобразования:

2^(2-x) = 2^2 * 2^(-x) = 4 * 2^(-x) и 2^(x-1) = 2^x * 2^(-1) = 2^(x-1) = 0.5 * 2^x.

Подставим это в уравнение:

4 * 2^(-x) - 0.5 * 2^x = 1.

Умножим все уравнение на 2^x, чтобы избавиться от дробей:

4 - 0.5 * (2^x)^2 = 2^x.

Преобразуем уравнение:

0.5 * (2^x)^2 + 2^x - 4 = 0.

Умножим на 2, чтобы избавиться от коэффициента 0.5:

(2^x)^2 + 4^x - 8 = 0.

Теперь обозначим y = 2^x. У нас получается квадратное уравнение:

y^2 + y - 8 = 0.

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -8.

Подставим значения:

y = (-1 ± √(1 + 32)) / 2 = (-1 ± √33) / 2.

Теперь найдем значения y:

• y1 = (-1 + √33) / 2,
• y2 = (-1 - √33) / 2 (это значение отрицательное и не подходит, так как y = 2^x всегда положительное).

Теперь вернемся к 2^x:

2^x = (-1 + √33) / 2.

Для нахождения x, применим логарифм:

x = log2((-1 + √33) / 2).

Таким образом, общее решение второго уравнения:

x = log2((-1 + √33) / 2).

В заключение, мы получили решения для обоих уравнений:

• Первое уравнение: x = nπ, x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ.
• Второе уравнение: x = log2((-1 + √33) / 2).