Как решить уравнение: lg(x^2-2) = -lg(1/x)?

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 10 класс Логарифмическое уравнение lg(x^2-2) lg(1/x) математические задачи подготовка к экзамену Новый

Чтобы решить уравнение lg(x^2-2) = -lg(1/x), давайте сначала упростим правую часть уравнения.

Мы знаем, что -lg(1/x) = lg(x), так как lg(1/x) = -lg(x). Таким образом, уравнение можно переписать как:

lg(x^2-2) = lg(x)

Теперь, если у нас есть равенство логарифмов, то мы можем приравнять их аргументы, но с условием, что оба аргумента должны быть положительными. Это дает нам следующее уравнение:

x^2 - 2 = x

Теперь перенесем все в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью факторизации. Мы ищем два числа, которые в произведении дают -2, а в сумме -1. Эти числа -2 и 1. Таким образом, уравнение можно записать в виде:

(x - 2)(x + 1) = 0

Теперь мы можем найти корни этого уравнения:

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 1 = 0 → x = -1

Теперь у нас есть два решения: x = 2 и x = -1. Однако, нам нужно проверить, подходят ли эти значения под условия логарифмов.

Для x = 2:

• Аргумент x^2 - 2 = 2^2 - 2 = 2 (положительный)
• Аргумент x = 2 (положительный)

Для x = -1:

• Аргумент x^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 (отрицательный)
• Аргумент x = -1 (отрицательный)

Так как для x = -1 один из аргументов логарифма отрицателен, это значение не подходит. Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 2