Как решить уравнение: log 2(x+14) + log 2(x+2) = 6?

Алгебра 10 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 10 класс Логарифмическое уравнение x+14 x+2 математические задачи учебник алгебра Новый

Чтобы решить уравнение log 2(x + 14) + log 2(x + 2) = 6, мы будем использовать свойства логарифмов. Начнем с того, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

• log 2(a) + log 2(b) = log 2(a * b).

Таким образом, мы можем переписать наше уравнение:

log 2((x + 14)(x + 2)) = 6.

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы применим определение логарифма. Это означает, что если log 2(A) = B, то A = 2^B. В нашем случае:

(x + 14)(x + 2) = 2^6.

Поскольку 2^6 = 64, то у нас получается:

(x + 14)(x + 2) = 64.

Теперь раскроем скобки:

x^2 + 2x + 14x + 28 = 64.

Соберем все члены в одной части уравнения:

x^2 + 16x + 28 - 64 = 0.

Это упростится до:

x^2 + 16x - 36 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 16, c = -36.
• D = 16^2 - 4 * 1 * (-36) = 256 + 144 = 400.

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

x = (-16 ± √400) / (2 * 1).

√400 = 20, поэтому:

• x1 = (-16 + 20) / 2 = 4 / 2 = 2,
• x2 = (-16 - 20) / 2 = -36 / 2 = -18.

Теперь у нас есть два корня: x1 = 2 и x2 = -18. Однако, нам нужно проверить, подходят ли эти значения для логарифмов, так как логарифм не может быть определён для отрицательных значений или нуля.

Подставим x1 = 2:

• x + 14 = 2 + 14 = 16 (положительное),
• x + 2 = 2 + 2 = 4 (положительное).

Подставим x2 = -18:

• x + 14 = -18 + 14 = -4 (отрицательное),
• x + 2 = -18 + 2 = -16 (отрицательное).

Так как x2 = -18 приводит к отрицательным значениям внутри логарифмов, этот корень не подходит.

Таким образом, единственное решение уравнения:

x = 2.