Как решить уравнение: логарифм в квадрате х по основанию 3 минус 2 логарифм х по основанию 3 равно 3?

Алгебра 10 класс Логарифмы логарифм в квадрате х основание 3 решить уравнение алгебра логарифмы математические уравнения квадратный логарифм алгебраические задачи Новый

Для решения уравнения логарифмического типа, такого как:

log₃(x)² - 2 * log₃(x) = 3,

необходимо выполнить следующие шаги:

1. Введение новой переменной: Обозначим y = log₃(x). Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

y² - 2y - 3 = 0

2. Решение квадратного уравнения: Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -2, c = -3.

3. Подставим значения:

y = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

y = (2 ± √(4 + 12)) / 2

y = (2 ± √16) / 2

y = (2 ± 4) / 2

4. Находим корни:
• y₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• y₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1
5. Возвращаемся к логарифму: Теперь, зная значения y, вернемся к переменной x, используя определение логарифма:
• Для y₁ = 3: log₃(x) = 3, что означает, что x = 3³ = 27.
• Для y₂ = -1: log₃(x) = -1, что означает, что x = 3^-1 = 1/3.
6. Проверка: Подставим найденные значения обратно в исходное уравнение:
• Для x = 27: log₃(27)² - 2 * log₃(27) = 3² - 2 * 3 = 9 - 6 = 3.
• Для x = 1/3: log₃(1/3)² - 2 * log₃(1/3) = (-1)² - 2 * (-1) = 1 + 2 = 3.

Таким образом, решения уравнения:

x = 27 и x = 1/3.