Как решить уравнение методом введения вспомогательного аргумента:

√3sin(3x) - cos(3x) = 1?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения метод вспомогательного аргумента алгебра 10 класс тригонометрические уравнения √3sin(3x) cos(3x) Новый

Чтобы решить уравнение √3sin(3x) - cos(3x) = 1 методом введения вспомогательного аргумента, следуем следующему алгоритму:

1. Введение вспомогательного аргумента: Обозначим t = sin(3x). Тогда cos(3x) можно выразить через t с помощью основного тригонометрического тождества: cos(3x) = √(1 - t²).
2. Подстановка в уравнение: Теперь подставим выражение для cos(3x) в исходное уравнение:
   • √3t - √(1 - t²) = 1.
3. Перенос всех членов в одну сторону: Приведем уравнение к стандартному виду:
   • √3t - √(1 - t²) - 1 = 0.
4. Избавляемся от корня: Для этого выразим корень и возведем обе стороны уравнения в квадрат:
   • √3t - 1 = √(1 - t²).
   • Теперь возведем обе стороны в квадрат:
   • (√3t - 1)² = 1 - t².
5. Раскрываем скобки: Получаем:
   • 3t² - 2√3t + 1 = 1 - t².
6. Собираем все члены в одну сторону: Получаем квадратное уравнение:
   • 3t² + t² - 2√3t + 1 - 1 = 0.
   • 4t² - 2√3t = 0.
7. Факторизуем уравнение: Вынесем общий множитель:
   • 2t(2t - √3) = 0.
8. Находим корни: У нас есть два множителя:
   • 2t = 0, значит t = 0;
   • 2t - √3 = 0, значит t = √3/2.
9. Обратно находим sin(3x): Теперь вернемся к исходному определению t:
   • sin(3x) = 0;
   • sin(3x) = √3/2.
10. Решаем каждое уравнение:
    • Для sin(3x) = 0:
      • 3x = nπ, где n - целое число;
      • x = nπ/3.
    • Для sin(3x) = √3/2:
      • 3x = π/3 + 2kπ или 3x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число;
      • x = π/9 + 2kπ/3 и x = 2π/9 + 2kπ/3.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения √3sin(3x) - cos(3x) = 1, которые можно записать в виде:

• x = nπ/3, где n - целое число;
• x = π/9 + 2kπ/3 и x = 2π/9 + 2kπ/3, где k - целое число.