Как решить уравнение:
sinx + cosx = -1?

Алгебра 10 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра sinx cosX тригонометрические функции уравнение sinx + cosx = -1 методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + cos(x) = -1, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение: Мы можем выразить одно из тригонометрических функций через другое. Но в данном случае проще будет рассмотреть, что sin(x) + cos(x) может принимать значения в диапазоне от -√2 до √2.
2. Определим границы: Сумма sin(x) + cos(x) достигает максимума и минимума, когда sin(x) + cos(x) = √2 * sin(x + π/4). Это значит, что максимальное значение равно √2, а минимальное значение равно -√2.
3. Проверим возможность равенства -1: Значение -1 находится в диапазоне от -√2 до √2, значит, у нас есть возможность, что уравнение имеет решения.
4. Преобразуем уравнение: Умножим обе стороны уравнения на √2, чтобы упростить задачу. Мы можем воспользоваться формулой:
   • sin(x) + cos(x) = √2 * sin(x + π/4)
   Таким образом, уравнение можно переписать как: √2 * sin(x + π/4) = -1.
5. Решим уравнение: Теперь мы можем выразить sin(x + π/4):
   • sin(x + π/4) = -1/√2
   Это дает нам два решения:
   • x + π/4 = 7π/4 + 2kπ, где k - целое число.
   • x + π/4 = 5π/4 + 2kπ, где k - целое число.
6. Найдём x: Теперь решим каждое из уравнений:
   • 1. x = 7π/4 - π/4 + 2kπ = 6π/4 + 2kπ = 3π/2 + 2kπ.
   • 2. x = 5π/4 - π/4 + 2kπ = 4π/4 + 2kπ = π + 2kπ.
7. Итак, окончательные решения: Мы получили два типа решений:
   • x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.
   • x = π + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, уравнение sin(x) + cos(x) = -1 имеет бесконечно много решений, которые можно записать в виде вышеуказанных формул.