Чтобы решить уравнение ||x|-1|=|x-1|, давайте разберем его по шагам. Мы будем учитывать различные случаи, поскольку абсолютные значения могут принимать разные формы в зависимости от знаков выражений внутри них.

Мы начнем с определения значений x, которые могут изменить выражение внутри абсолютных значений. Это происходит, когда:

• x = 0 (для |x|)
• x = 1 (для |x-1|)

Эти точки разделяют числовую ось на три интервала:

• Интервал 1: x < 0
• Интервал 2: 0 ≤ x < 1
• Интервал 3: x ≥ 1

В этом случае |x| = -x и |x-1| = -(x-1) = -x + 1. Подставим эти значения в уравнение:

||-x|-1| = |-x+1|

Таким образом, у нас получается:

|-x - 1| = -x + 1.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: -x - 1 = -x + 1. Здесь мы получаем -1 = 1, что невозможно.
• Случай 2: -x - 1 = x - 1. Здесь мы получаем -2x = 0, следовательно, x = 0. Но x < 0, значит, это решение не подходит.

Здесь |x| = x и |x-1| = -x + 1. Подставляем в уравнение:

||x|-1| = |-x+1|.

Таким образом, у нас получается:

|x - 1| = -x + 1.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: x - 1 = -x + 1. Здесь мы получаем 2x = 2, следовательно, x = 1. Но x < 1, значит, это решение не подходит.
• Случай 2: x - 1 = x - 1. Это равенство всегда верно, то есть все значения x из интервала [0, 1) являются решениями.

В этом случае |x| = x и |x-1| = x - 1. Подставляем в уравнение:

||x|-1| = |x-1|.

Таким образом, у нас получается:

|x - 1| = x - 1.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: x - 1 = x - 1. Это равенство всегда верно, то есть все значения x из интервала [1, ∞) являются решениями.
• Случай 2: -(x - 1) = x - 1. Здесь мы получаем -x + 1 = x - 1, что приводит к 2x = 2, следовательно, x = 1. Это значение уже учтено.

Теперь мы можем объединить все найденные решения:

• Из интервала 2: [0, 1)
• Из интервала 3: [1, ∞)

Таким образом, окончательное решение уравнения ||x|-1|=|x-1| будет:

[0, ∞)

Это означает, что все значения x, начиная с 0 и до бесконечности, являются решениями данного уравнения.