Какова длина интервала, который определяет все решения системы неравенств -1 < 1 - 2x < 2 и (2√3 - 5)(3x - 2) > 0?

Алгебра 10 класс Системы неравенств длина интервала решения системы неравенств алгебра 10 класс неравенства математические решения интервал решений Новый

Чтобы найти длину интервала, который определяет все решения данной системы неравенств, нужно решить каждое из неравенств по отдельности, а затем объединить их решения.

Шаг 1: Решение первого неравенства -1 < 1 - 2x < 2

Это неравенство можно разбить на два отдельные неравенства:

1. -1 < 1 - 2x
2. 1 - 2x < 2

Теперь решим каждое из них.

Первое неравенство:

-1 < 1 - 2x

Переносим 1 влево:

-1 - 1 < -2x

-2 < -2x

Умножаем обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак):

2 > 2x

Делим обе стороны на 2:

1 > x, или x < 1.

Второе неравенство:

1 - 2x < 2

Переносим 1 вправо:

-2x < 2 - 1

-2x < 1

Умножаем обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак):

2x > -1

Делим обе стороны на 2:

x > -0.5.

Таким образом, первое неравенство дает нам интервал:

-0.5 < x < 1.

Шаг 2: Решение второго неравенства (2√3 - 5)(3x - 2) > 0

Здесь мы имеем произведение двух множителей. Чтобы неравенство выполнялось, оба множителя должны быть положительными или оба отрицательными.

Сначала найдем, когда каждый из множителей равен нулю:

• 2√3 - 5 = 0 → 2√3 = 5 → √3 = 2.5 → x = 5/(2√3)
• 3x - 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2/3

Теперь определим знаки произведения (2√3 - 5)(3x - 2) на интервалах, определенных корнями:

• Для x < 2/3: оба множителя отрицательны, значит произведение положительно.
• Для 2/3 < x < 5/(2√3): 2√3 - 5 положительно, 3x - 2 отрицательно, значит произведение отрицательно.
• Для x > 5/(2√3): оба множителя положительны, значит произведение положительно.

Таким образом, решение второго неравенства:

x < 2/3 или x > 5/(2√3).

Шаг 3: Объединение решений

Теперь нам нужно объединить решения:

• Первое неравенство: -0.5 < x < 1.
• Второе неравенство: x < 2/3 или x > 5/(2√3).

Теперь определим, какие из этих интервалов пересекаются:

• Для x < 2/3: пересечение с -0.5 < x < 1 дает интервал -0.5 < x < 2/3.
• Для x > 5/(2√3): нужно проверить, находится ли 5/(2√3) в интервале (0.5, 1). Поскольку 5/(2√3) примерно равно 1.44, этот интервал не пересекается с первым.

Таким образом, единственным интервалом, который удовлетворяет обоим неравенствам, является -0.5 < x < 2/3.

Шаг 4: Длина интервала

Теперь, чтобы найти длину интервала -0.5 < x < 2/3, вычтем нижнюю границу из верхней:

Длина интервала = 2/3 - (-0.5) = 2/3 + 0.5 = 2/3 + 3/6 = 4/6 + 3/6 = 7/6.

Таким образом, длина интервала, который определяет все решения системы неравенств, равна 7/6.