Каковы длина и ширина исходного прямоугольника, если длина в 3 раза превышает ширину, и после увеличения длины на 15 см и ширины на 20 см его площадь возросла в 4 раза? Каков периметр прямоугольника с исходными размерами?

Алгебра 10 класс Системы уравнений длина и ширина прямоугольника алгебра 10 класс задачи на площади периметр прямоугольника увеличение размеров фигуры соотношение длины и ширины решение алгебраических задач

Длина исходного прямоугольника: 45 см.

Ширина исходного прямоугольника: 15 см.

Периметр прямоугольника с исходными размерами: 120 см.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим ширину прямоугольника как w, тогда длина будет 3w, так как длина в 3 раза превышает ширину.

Теперь найдем площадь исходного прямоугольника:

• Площадь = длина * ширина = 3w * w = 3w².

После увеличения длины на 15 см и ширины на 20 см, новые размеры будут:

• Новая длина = 3w + 15 см,
• Новая ширина = w + 20 см.

Теперь найдем площадь нового прямоугольника:

• Новая площадь = (3w + 15) * (w + 20).

Согласно условию, новая площадь в 4 раза больше исходной площади:

• (3w + 15) * (w + 20) = 4 * 3w².

Теперь раскроем скобки:

• (3w + 15)(w + 20) = 3w² + 60w + 15w + 300 = 3w² + 75w + 300.

Теперь у нас есть уравнение:

• 3w² + 75w + 300 = 12w².

Переносим все в одну сторону:

• 0 = 12w² - 3w² - 75w - 300.
• 0 = 9w² - 75w - 300.

Теперь упростим уравнение, разделив его на 3:

• 0 = 3w² - 25w - 100.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-25)² - 4 * 3 * (-100) = 625 + 1200 = 1825.

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:

• w = (25 ± √1825) / 6.

Вычислим √1825, чтобы найти приближенное значение:

• √1825 ≈ 42.72.

Теперь подставим это значение:

• w = (25 ± 42.72) / 6.

Находим два возможных значения для w:

• w1 = (25 + 42.72) / 6 ≈ 11.12,
• w2 = (25 - 42.72) / 6 < 0 (отрицательное значение, не подходит).

Таким образом, ширина w ≈ 11.12 см, а длина 3w ≈ 33.36 см.

Теперь найдем периметр исходного прямоугольника:

• Периметр = 2 * (длина + ширина) = 2 * (3w + w) = 2 * (4w) = 8w.

Подставим значение w:

• Периметр ≈ 8 * 11.12 ≈ 88.96 см.

Таким образом, длина исходного прямоугольника ≈ 33.36 см, ширина ≈ 11.12 см, а периметр ≈ 88.96 см.