Логарифмы! 20 баллов) Как решить уравнение: логарифм по основанию 2 от 6 минус логарифм по основанию 1/2 от (x минус 1/3) равно 2?

Алгебра 10 класс Логарифмы логарифмы уравнение логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 1/2 решение уравнения алгебра математические задачи логарифмические свойства x минус 1/3 равенство Новый

Для решения уравнения логарифмов, давайте начнем с того, что у нас есть следующее уравнение:

лог₂(6) - лог₁/₂(x - 1/3) = 2

Первым шагом будет преобразование логарифма с основанием 1/2. Мы знаем, что:

• лог₁/₂(a) = -лог₂(a). Это свойство логарифмов позволяет нам переписать уравнение.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

лог₂(6) + лог₂(x - 1/3) = 2

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что логарифм суммы равен сумме логарифмов. Это позволяет нам объединить логарифмы:

лог₂(6 * (x - 1/3)) = 2

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы можем возвести 2 в степень, равную правой части уравнения:

6 * (x - 1/3) = 2²

Это упрощается до:

6 * (x - 1/3) = 4

Теперь разделим обе стороны уравнения на 6:

x - 1/3 = 4/6

Упрощаем дробь 4/6:

x - 1/3 = 2/3

Теперь добавим 1/3 к обеим сторонам уравнения:

x = 2/3 + 1/3

Сложим дроби:

x = 3/3

Таким образом, мы получаем:

x = 1

Теперь давайте проверим, подходит ли это значение для нашего исходного уравнения:

Подставим x = 1 в логарифмы:

• лог₂(6) - лог₁/₂(1 - 1/3) = лог₂(6) - лог₁/₂(2/3)
• лог₁/₂(2/3) = -лог₂(2/3)

Таким образом, у нас получается:

лог₂(6) + лог₂(2/3) = 2

По свойству логарифмов:

лог₂(6 * (2/3)) = 2

Упрощаем:

лог₂(4) = 2

Это верно, так как 2² = 4. Значит, значение x = 1 действительно является решением уравнения.

Ответ: x = 1