1. Уравнение: log2(x+1) = 2

1. По определению логарифма: если log2(a) = b, то 2^b = a. В нашем случае: 2^2 = x + 1.
2. Вычисляем 2^2: это 4. Значит, x + 1 = 4.
3. Теперь решим уравнение: x = 4 - 1.
4. Ответ: x = 3.

2. Уравнение: log17(5x+7) = log17(22)

1. Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то их аргументы также равны. Значит, 5x + 7 = 22.
2. Решим это уравнение: 5x = 22 - 7.
3. Вычисляем: 5x = 15.
4. Теперь делим обе стороны на 5: x = 15 / 5.
5. Ответ: x = 3.

3. Уравнение: log3(7x+1) = 3log9(4)

1. Сначала преобразуем 3log9(4). Зная, что log9(4) = log3(4) / log3(9), а log3(9) = 2, получаем: log9(4) = log3(4) / 2.
2. Следовательно, 3log9(4) = 3 * (log3(4) / 2) = (3/2) * log3(4).
3. Теперь у нас есть уравнение: log3(7x + 1) = (3/2) * log3(4).
4. Умножим обе стороны на 2: 2 * log3(7x + 1) = 3 * log3(4).
5. По свойству логарифмов: log3((7x + 1)^2) = log3(4^3).
6. Таким образом, (7x + 1)^2 = 64.
7. Теперь извлечем корень: 7x + 1 = ±8.
8. Решим оба случая:
• 1-й случай: 7x + 1 = 8, тогда 7x = 7 и x = 1.
• 2-й случай: 7x + 1 = -8, тогда 7x = -9 и x = -9/7 (отрицательное значение не подходит, так как логарифм не может быть отрицательным).
9. Ответ: x = 1.

4. Уравнение: log3(4+x) = log3(4)

1. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, то их аргументы также равны: 4 + x = 4.
2. Решим уравнение: x = 4 - 4.
3. Ответ: x = 0.

Итак, подводя итоги:

• 1. x = 3
• 2. x = 3
• 3. x = 1
• 4. x = 0