Можете помочь решить задачу с использованием системы уравнений? Даны два числа, одно из которых больше другого на 4, а сумма их квадратов равна 58. Как найти эти числа?

Алгебра 10 класс Системы уравнений алгебра система уравнений задача на числа сумма квадратов решение задачи математическая задача уравнения с двумя переменными Новый

Конечно, давайте решим эту задачу с использованием системы уравнений. Начнем с того, что обозначим два числа. Пусть:

• x - меньшее число,
• y - большее число.

Согласно условию задачи, одно число больше другого на 4. Это можно записать в виде уравнения:

1. Уравнение:

y = x + 4

Также известно, что сумма квадратов этих чисел равна 58. Это можно записать как:

2. Уравнение:

x² + y² = 58

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• y = x + 4
• x² + y² = 58

Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим y на (x + 4):

x² + (x + 4)² = 58

Теперь раскроем скобки:

(x + 4)² = x² + 8x + 16,

поэтому уравнение становится:

x² + x² + 8x + 16 = 58

Сложим подобные члены:

2x² + 8x + 16 = 58

Теперь перенесем 58 в левую часть уравнения:

2x² + 8x + 16 - 58 = 0

Это упростится до:

2x² + 8x - 42 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все его члены на 2:

x² + 4x - 21 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 4, c = -21.

Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100.

Теперь находим корни:

x = (-4 ± √100) / 2 * 1 = (-4 ± 10) / 2.

Это дает нам два возможных значения для x:

• x₁ = (6) / 2 = 3,
• x₂ = (-14) / 2 = -7.

Теперь подставим найденные значения x обратно в первое уравнение, чтобы найти y:

• Если x = 3, то y = 3 + 4 = 7.
• Если x = -7, то y = -7 + 4 = -3.

Таким образом, у нас есть два решения:

• Первое решение: числа 3 и 7.
• Второе решение: числа -7 и -3.

Ответ: числа 3 и 7, или -7 и -3.