Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число: a) является простым, b) является взаимно простым с числом 100?

Алгебра 10 класс Вероятность и комбинаторика вероятность двузначного числа простые числа взаимно простые числа число 100 алгебра 10 класс Новый

Для решения задачи сначала определим, сколько двузначных чисел существует, а затем найдем количество чисел, которые удовлетворяют условиям задачи.

Шаг 1: Определение количества двузначных чисел

Двузначные числа – это числа от 10 до 99. Чтобы найти общее количество двузначных чисел, мы можем воспользоваться формулой:

• 99 - 10 + 1 = 90

Таким образом, всего существует 90 двузначных чисел.

Шаг 2: Найдем количество простых двузначных чисел

Простое число – это число, которое имеет ровно два делителя: 1 и само число. Давайте перечислим все двузначные простые числа:

• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29
• 31
• 37
• 41
• 43
• 47
• 53
• 59
• 61
• 67
• 71
• 73
• 79
• 83
• 89
• 97

Всего мы имеем 21 простое двузначное число.

Шаг 3: Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число является простым

Вероятность P(A) того, что двузначное число является простым, рассчитывается по формуле:

• P(A) = (Количество простых чисел) / (Общее количество двузначных чисел)
• P(A) = 21 / 90

Упрощая дробь, получаем:

• P(A) = 7 / 30

Шаг 4: Найдем количество двузначных чисел, взаимно простых с 100

Число 100 имеет следующие делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Чтобы число было взаимно простым с 100, оно не должно делиться ни на 2, ни на 5.

Теперь найдем двузначные числа, которые делятся на 2 и 5:

• Делящиеся на 2: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 (всего 45 чисел)
• Делящиеся на 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 (всего 18 чисел)
• Делящиеся на 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (всего 9 чисел)

Теперь применим формулу включения-исключения:

• Общее количество чисел, делящихся на 2 или 5 = 45 + 18 - 9 = 54

Теперь найдем количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5:

• 90 - 54 = 36

Шаг 5: Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число взаимно просто с 100

Вероятность P(B) того, что двузначное число взаимно просто с 100, рассчитывается по формуле:

• P(B) = (Количество чисел, взаимно простых с 100) / (Общее количество двузначных чисел)
• P(B) = 36 / 90

Упрощая дробь, получаем:

• P(B) = 4 / 10 = 2 / 5

Ответ:

• a) Вероятность того, что число является простым: 7 / 30
• b) Вероятность того, что число взаимно просто с 100: 2 / 5