Помогите, пожалуйста! Как решить уравнение: логарифм X по основанию 2 плюс логарифм X по основанию 4 плюс логарифм X по основанию 16 равно 7?

Алгебра 10 класс Логарифмы логарифм x уравнение логарифмов решение уравнения алгебра 10 класс логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 4 логарифм по основанию 16 свойства логарифмов Новый

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение выглядит следующим образом:

log2(X) + log4(X) + log16(X) = 7

Первым делом, давайте преобразуем логарифмы с разными основаниями к одному основанию. Мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что:

logb(a) = logk(a) / logk(b)

где k - любое положительное число, не равное 1. В нашем случае мы будем использовать основание 2.

• log4(X) можно выразить через основание 2:

log4(X) = log2(X) / log2(4) = log2(X) / 2

• log16(X) также можно выразить через основание 2:

log16(X) = log2(X) / log2(16) = log2(X) / 4

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

log2(X) + (log2(X) / 2) + (log2(X) / 4) = 7

Теперь давайте обозначим log2(X) как y. Тогда уравнение примет следующий вид:

y + (y / 2) + (y / 4) = 7

Теперь найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 1, 2 и 4 - это 4:

4y + 2y + y = 7 * 4

Теперь упростим это уравнение:

4y + 2y + y = 28

7y = 28

Теперь разделим обе стороны на 7:

y = 28 / 7 = 4

Теперь вернемся к нашему обозначению. Мы нашли, что:

log2(X) = 4

Чтобы найти X, нам нужно преобразовать логарифмическое уравнение в экспоненциальное:

X = 2^4

Таким образом, X = 16.

Теперь давайте проверим, подходит ли это значение для исходного уравнения:

• log2(16) = 4
• log4(16) = log2(16) / log2(4) = 4 / 2 = 2
• log16(16) = log2(16) / log2(16) = 4 / 4 = 1

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

4 + 2 + 1 = 7

Уравнение верно, значит, мы правильно решили задачу.

Ответ: X = 16