Помогите, пожалуйста с логарифмами :)

1. Как решить уравнение log₃ (x² - 4x + 4) = 2?
2. Как найти x в уравнении 3Log₄x = log₄12.5 + log₄64?
3. Как решить уравнение 2Log₃(x - 2) - Log₃(x + 1) = 1?
4. Как решить уравнение Log₄(x - 4) + Log₄(x + 4) = Log₄(3x + 2)?

Алгебра 10 класс Логарифмы логарифмы уравнения решение логарифмических уравнений алгебра 10 класс помощь с логарифмами Новый

Конечно, давайте разберем каждое уравнение по порядку.

1. Уравнение log₃ (x² - 4x + 4) = 2

Первый шаг - преобразовать логарифмическое уравнение в экспоненциальное. Мы знаем, что если logₐ(b) = c, то a^c = b. В нашем случае:

• 3² = x² - 4x + 4

Теперь вычислим 3²:

• 9 = x² - 4x + 4

Переносим 9 в левую часть уравнения:

• 0 = x² - 4x + 4 - 9
• 0 = x² - 4x - 5

Теперь решим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0. Мы можем использовать формулу корней:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = -5.

Подставляем значения:

• D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
• x = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два значения:

• x₁ = (4 + 6) / 2 = 5
• x₂ = (4 - 6) / 2 = -1

Но так как под логарифмом не может быть отрицательное число, оставляем только x = 5.

2. Уравнение 3Log₄x = log₄12.5 + log₄64

Сначала используем свойства логарифмов. Сложим логарифмы:

• log₄(12.5 * 64) = log₄(800).

Теперь у нас уравнение:

• 3Log₄x = log₄800.

Теперь делим обе стороны на 3:

• Log₄x = log₄800 / 3.

Теперь преобразуем это в экспоненциальное уравнение:

• x = 4^(log₄800 / 3).

Поскольку a^(logₐb) = b, мы можем записать:

• x = 800^(1/3).

Теперь найдем корень:

• x = 8.54 (примерно).

3. Уравнение 2Log₃(x - 2) - Log₃(x + 1) = 1

Сначала преобразуем 2Log₃(x - 2) в Log₃((x - 2)²) и затем используем свойства логарифмов:

• Log₃((x - 2)²) - Log₃(x + 1) = 1.

Теперь применим свойства логарифмов:

• Log₃((x - 2)² / (x + 1)) = 1.

Преобразуем в экспоненциальное:

• (x - 2)² / (x + 1) = 3.

Теперь умножим обе стороны на (x + 1):

• (x - 2)² = 3(x + 1).

Раскроем скобки:

• x² - 4x + 4 = 3x + 3.

Переносим все в одну сторону:

• x² - 7x + 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• D = (-7)² - 4 * 1 * 1 = 49 - 4 = 45.
• x = (7 ± √45) / 2.

Таким образом, получаем два значения:

• x₁ = (7 + √45) / 2
• x₂ = (7 - √45) / 2

Проверяем, чтобы x - 2 > 0 и x + 1 > 0, поэтому оставляем только подходящие корни.

4. Уравнение Log₄(x - 4) + Log₄(x + 4) = Log₄(3x + 2)

Сначала используем свойства логарифмов:

• Log₄((x - 4)(x + 4)) = Log₄(3x + 2).

Теперь убираем логарифмы, так как основание одинаковое:

• (x - 4)(x + 4) = 3x + 2.

Раскроем скобки:

• x² - 16 = 3x + 2.

Переносим все в одну сторону:

• x² - 3x - 18 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

• D = (-3)² - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81.
• x = (3 ± √81) / 2.

Таким образом, получаем два значения:

• x₁ = (3 + 9) / 2 = 6
• x₂ = (3 - 9) / 2 = -3.

Проверяем, чтобы под логарифмами были положительные значения, оставляем только x = 6.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!