Давайте решим неравенство 3x² - 7x + 4 ⩾ 0 шаг за шагом.

1. **Найдем корни квадратного уравнения**. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 3, b = -7, c = 4.

Подставим значения:

• D = (-7)² - 4 * 3 * 4
• D = 49 - 48
• D = 1

2. **Поскольку дискриминант положителен (D > 0), уравнение имеет два различных корня**. Найдем их по формуле:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

• x₁ = (7 + √1) / (2 * 3) = (7 + 1) / 6 = 8 / 6 = 4 / 3
• x₂ = (7 - √1) / (2 * 3) = (7 - 1) / 6 = 6 / 6 = 1

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 4/3 и x₂ = 1.

3. **Теперь мы можем построить числовую прямую и определить интервалы**. Корни делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 1)
• (1, 4/3)
• (4/3, +∞)

4. **Теперь проверим знаки функции в каждом из этих интервалов**. Для этого подберем тестовые значения:

• Для интервала (-∞, 1), например, x = 0:
• 3(0)² - 7(0) + 4 = 4 (положительное)
• Для интервала (1, 4/3), например, x = 1.1:
• 3(1.1)² - 7(1.1) + 4 = 3.63 - 7.7 + 4 = -0.07 (отрицательное)
• Для интервала (4/3, +∞), например, x = 2:
• 3(2)² - 7(2) + 4 = 12 - 14 + 4 = 2 (положительное)

5. **Теперь мы можем записать знаки функции на интервалах**:

• (-∞, 1): положительное
• (1, 4/3): отрицательное
• (4/3, +∞): положительное

6. **Теперь определим, где неравенство 3x² - 7x + 4 ⩾ 0 выполняется**. Это происходит в интервалах:

• (-∞, 1] (включая 1, так как при x = 1 функция равна 0)
• [4/3, +∞) (включая 4/3, так как при x = 4/3 функция также равна 0)

7. **Запишем окончательный ответ**:

x ∈ (-∞, 1] ∪ [4/3, +∞).

Таким образом, решением неравенства 3x² - 7x + 4 ⩾ 0 являются все значения x из указанных интервалов.