Для решения неравенства 3x² + 3x - 6 < (x - 1)², начнем с того, что упростим его, перенесем все члены в одну сторону. Это позволит нам работать с одним неравенством.

Первым шагом раскроем скобки в правой части неравенства:

• (x - 1)² = x² - 2x + 1

Теперь подставим это выражение в неравенство:

3x² + 3x - 6 < x² - 2x + 1

Теперь перенесем все члены в левую часть, вычитая правую часть из левой:

3x² + 3x - 6 - x² + 2x - 1 < 0

Соберем подобные члены:

• 3x² - x² = 2x²
• 3x + 2x = 5x
• -6 - 1 = -7

Таким образом, получаем новое неравенство:

2x² + 5x - 7 < 0

Теперь мы можем решить это неравенство. Для начала найдем корни соответствующего уравнения 2x² + 5x - 7 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81

Теперь найдем корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 9) / 4 = 4 / 4 = 1
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 9) / 4 = -14 / 4 = -3.5

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 1 и x₂ = -3.5. Эти корни делят числовую прямую на три промежутка:

• (-∞, -3.5)
• (-3.5, 1)
• (1, +∞)

Теперь проверим знак выражения 2x² + 5x - 7 на каждом из этих промежутков. Для этого выберем тестовые точки:

• Для промежутка (-∞, -3.5), например, x = -4:
• 2(-4)² + 5(-4) - 7 = 32 - 20 - 7 = 5 > 0
• Для промежутка (-3.5, 1), например, x = 0:
• 2(0)² + 5(0) - 7 = -7 < 0
• Для промежутка (1, +∞), например, x = 2:
• 2(2)² + 5(2) - 7 = 8 + 10 - 7 = 11 > 0

Таким образом, выражение 2x² + 5x - 7 < 0 на промежутке (-3.5, 1).

Не забудем, что неравенство строгое (<), поэтому корни x = -3.5 и x = 1 не включаются в ответ.

Ответ: x ∈ (-3.5, 1).