Давайте поэтапно решим выражение: log0,01 0,64 + log100 0,16 + log√10 √20.

Для начала, вспомним, что логарифм имеет свойство, которое позволяет нам менять основание логарифма. Формула для этого выглядит так:

log_a b = log_c b / log_c a

Теперь разберем каждую часть нашего выражения.

1. Первый логарифм: log0,01 0,64
   • Основание 0,01 можно представить как 10^(-2).
   • Используем формулу для изменения основания:
   • log0,01 0,64 = log10 0,64 / log10 0,01.
   • Теперь найдем log10 0,64. Поскольку 0,64 = 64 / 100, можем записать:
   • log10 0,64 = log10 (64) - log10 (100) = log10 (8^2) - 2 = 2 * log10 (8) - 2.
   • Поскольку log10 (8) = 3 * log10 (2), получаем:
   • log10 0,64 = 2 * 3 * log10 (2) - 2 = 6 * log10 (2) - 2.
   • Теперь log10 0,01 = log10 (10^(-2)) = -2.
   • Таким образом, log0,01 0,64 = (6 * log10 (2) - 2) / (-2) = -3 * log10 (2) + 1.
2. Второй логарифм: log100 0,16
   • Основание 100 = 10^2.
   • Используем ту же формулу:
   • log100 0,16 = log10 0,16 / log10 100.
   • log10 100 = 2.
   • Теперь log10 0,16 = log10 (16) - log10 (100) = log10 (4^2) - 2 = 2 * log10 (4) - 2.
   • Поскольку log10 (4) = 2 * log10 (2), получаем:
   • log10 0,16 = 2 * (2 * log10 (2)) - 2 = 4 * log10 (2) - 2.
   • Таким образом, log100 0,16 = (4 * log10 (2) - 2) / 2 = 2 * log10 (2) - 1.
3. Третий логарифм: log√10 √20
   • Основание √10 = 10^(1/2), а √20 = 20^(1/2).
   • Используем формулу:
   • log√10 √20 = log10 √20 / log10 √10.
   • log10 √10 = 1/2.
   • Теперь log10 √20 = log10 (20) / 2 = (log10 (4) + log10 (5)) / 2 = (2 * log10 (2) + log10 (5)) / 2 = log10 (2) + log10 (5)/2.
   • Таким образом, log√10 √20 = (log10 (2) + log10 (5)/2) / (1/2) = 2 * log10 (2) + log10 (5).

Теперь мы можем собрать все части вместе:

log0,01 0,64 + log100 0,16 + log√10 √20 = (-3 * log10 (2) + 1) + (2 * log10 (2) - 1) + (2 * log10 (2) + log10 (5)).

Сложим все логарифмы:

= -3 * log10 (2) + 2 * log10 (2) + 2 * log10 (2) + log10 (5) + 1 - 1

= 0 + log10 (5) = log10 (5).

Таким образом, окончательный ответ:

log10 (5).