Решите следующие неравенства:

1. (x + 4)(x - 5)² < 0
2. (x² + 14x + 13)(x - 10) < 0

Алгебра 10 класс Неравенства неравенства алгебра 10 класс решение неравенств Квадратные неравенства математические задачи график функции анализ знаков метод интервалов алгебраические выражения Новый

Для решения неравенств будем использовать метод интервалов. Начнем с первого неравенства:

(x + 4)(x - 5)² < 0

1. Находим нули выражения:
• x + 4 = 0 ⇒ x = -4
• (x - 5)² = 0 ⇒ x = 5
2. Теперь определим знаки на интервалах, которые образуются этими нулями: (-∞, -4), (-4, 5), (5, +∞).
3. Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -4): возьмем x = -5. Подставляем: (-5 + 4)(-5 - 5)² = (-1)(100) < 0.
• Для интервала (-4, 5): возьмем x = 0. Подставляем: (0 + 4)(0 - 5)² = (4)(25) > 0.
• Для интервала (5, +∞): возьмем x = 6. Подставляем: (6 + 4)(6 - 5)² = (10)(1) > 0.
4. Теперь подводим итог по знакам:
• (-∞, -4): -
• (-4, 5): +
• (5, +∞): +
5. Так как неравенство строгое (< 0), то мы берем только интервал, где выражение отрицательно:
• Ответ: x ∈ (-∞, -4).

Теперь перейдем ко второму неравенству:

(x² + 14x + 13)(x - 10) < 0

1. Сначала найдем нули первого множителя x² + 14x + 13. Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант:
• D = 14² - 4 * 1 * 13 = 196 - 52 = 144.
• Корни: x = (-14 ± √144) / 2 = (-14 ± 12) / 2.
• Таким образом, корни: x₁ = -1 и x₂ = -13.
2. Нули второго множителя: x - 10 = 0 ⇒ x = 10.
3. Теперь определим знаки на интервалах: (-∞, -13), (-13, -1), (-1, 10), (10, +∞).
4. Выбираем тестовые точки:
• Для интервала (-∞, -13): x = -14. Подставляем: ((-14)² + 14*(-14) + 13)(-14 - 10) = (196 - 196 + 13)(-24) = 13*(-24) < 0.
• Для интервала (-13, -1): x = -10. Подставляем: ((-10)² + 14*(-10) + 13)(-10 - 10) = (100 - 140 + 13)(-20) = (-27)(-20) > 0.
• Для интервала (-1, 10): x = 0. Подставляем: (0² + 14*0 + 13)(0 - 10) = (13)(-10) < 0.
• Для интервала (10, +∞): x = 11. Подставляем: (11² + 14*11 + 13)(11 - 10) = (121 + 154 + 13)(1) > 0.
5. Теперь подводим итог по знакам:
• (-∞, -13): -
• (-13, -1): +
• (-1, 10): -
• (10, +∞): +
6. Так как неравенство строгое (< 0), то мы берем только интервалы, где выражение отрицательно:
• Ответ: x ∈ (-∞, -13) ∪ (-1, 10).

Итак, окончательные ответы:

• Для первого неравенства: x ∈ (-∞, -4).
• Для второго неравенства: x ∈ (-∞, -13) ∪ (-1, 10).