Для решения неравенств будем использовать метод интервалов. Начнем с первого неравенства:

(x + 4)(x - 5)² < 0

1. Находим нули выражения:
• x + 4 = 0 ⇒ x = -4
• (x - 5)² = 0 ⇒ x = 5
2. Теперь определим знаки на интервалах, которые образуются этими нулями: (-∞, -4), (-4, 5), (5, +∞).
3. Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -4): возьмем x = -5. Подставляем: (-5 + 4)(-5 - 5)² = (-1)(100) < 0.
• Для интервала (-4, 5): возьмем x = 0. Подставляем: (0 + 4)(0 - 5)² = (4)(25) > 0.
• Для интервала (5, +∞): возьмем x = 6. Подставляем: (6 + 4)(6 - 5)² = (10)(1) > 0.
4. Теперь подводим итог по знакам:
• (-∞, -4): -
• (-4, 5): +
• (5, +∞): +
5. Так как неравенство строгое (< 0), то мы берем только интервал, где выражение отрицательно:
• Ответ: x ∈ (-∞, -4).

Теперь перейдем ко второму неравенству:

(x² + 14x + 13)(x - 10) < 0

1. Сначала найдем нули первого множителя x² + 14x + 13. Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант:
• D = 14² - 4 * 1 * 13 = 196 - 52 = 144.
• Корни: x = (-14 ± √144) / 2 = (-14 ± 12) / 2.
• Таким образом, корни: x₁ = -1 и x₂ = -13.
2. Нули второго множителя: x - 10 = 0 ⇒ x = 10.
3. Теперь определим знаки на интервалах: (-∞, -13), (-13, -1), (-1, 10), (10, +∞).
4. Выбираем тестовые точки:
• Для интервала (-∞, -13): x = -14. Подставляем: ((-14)² + 14*(-14) + 13)(-14 - 10) = (196 - 196 + 13)(-24) = 13*(-24) < 0.
• Для интервала (-13, -1): x = -10. Подставляем: ((-10)² + 14*(-10) + 13)(-10 - 10) = (100 - 140 + 13)(-20) = (-27)(-20) > 0.
• Для интервала (-1, 10): x = 0. Подставляем: (0² + 14*0 + 13)(0 - 10) = (13)(-10) < 0.
• Для интервала (10, +∞): x = 11. Подставляем: (11² + 14*11 + 13)(11 - 10) = (121 + 154 + 13)(1) > 0.
5. Теперь подводим итог по знакам:
• (-∞, -13): -
• (-13, -1): +
• (-1, 10): -
• (10, +∞): +
6. Так как неравенство строгое (< 0), то мы берем только интервалы, где выражение отрицательно:
• Ответ: x ∈ (-∞, -13) ∪ (-1, 10).

Итак, окончательные ответы:

• Для первого неравенства: x ∈ (-∞, -4).
• Для второго неравенства: x ∈ (-∞, -13) ∪ (-1, 10).