1) Как можно вычислить производную функции y=2x+3 / 3-x?

 

2) Как найти значение f ' (x0), если f(x)=2x-x^2 и x0=4?

 

3) Как сформулировать уравнение касательной к графику функции y=3x^2+2x+5 в точке x0=-1?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функции вычисление производной значение f'(x0) Уравнение касательной график функции алгебра 11 класс нахождение производной касательная к графику функции и производные алгебраические уравнения Новый

1) Вычисление производной функции y=(2x+3)/(3-x):

Для нахождения производной дробной функции, мы используем правило дифференцирования частного. Если у нас есть функция в виде y = u/v, где u и v - функции от x, то производная y' вычисляется по формуле:

y' = (u'v - uv') / v²,

где u' и v' - производные функций u и v соответственно.

В нашем случае:

• u = 2x + 3, тогда u' = 2;
• v = 3 - x, тогда v' = -1.

Теперь подставим эти значения в формулу:

y' = (2(3 - x) - (2x + 3)(-1)) / (3 - x)².

Упростим числитель:

y' = (6 - 2x + 2x + 3) / (3 - x)² = 9 / (3 - x)².

Таким образом, производная функции y = (2x + 3)/(3 - x) равна y' = 9 / (3 - x)².

2) Нахождение значения f'(x0), если f(x) = 2x - x² и x0 = 4:

Сначала найдем производную функции f(x). Для этого используем правила дифференцирования:

• Производная от 2x равна 2;
• Производная от -x² равна -2x.

Следовательно, производная f(x) будет:

f'(x) = 2 - 2x.

Теперь подставим x0 = 4 в производную:

f'(4) = 2 - 2(4) = 2 - 8 = -6.

Таким образом, значение f'(4) равно -6.

3) Уравнение касательной к графику функции y = 3x² + 2x + 5 в точке x0 = -1:

Для нахождения уравнения касательной, нам нужно знать координаты точки касания и наклон касательной (то есть производную функции в этой точке).

Сначала найдем производную функции y:

• Производная от 3x² равна 6x;
• Производная от 2x равна 2;
• Производная от 5 равна 0.

Итак, производная y будет:

y' = 6x + 2.

Теперь подставим x0 = -1 в производную, чтобы найти наклон касательной:

y'(-1) = 6(-1) + 2 = -6 + 2 = -4.

Теперь найдем значение функции в точке x0 = -1:

y(-1) = 3(-1)² + 2(-1) + 5 = 3(1) - 2 + 5 = 3 - 2 + 5 = 6.

Теперь у нас есть точка касания (-1, 6) и наклон -4. Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = m(x - x0),

где m - наклон, (x0, y0) - координаты точки касания.

Подставим значения:

y - 6 = -4(x + 1).

Упростим уравнение:

y - 6 = -4x - 4,

y = -4x + 2.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 3x² + 2x + 5 в точке x0 = -1 имеет вид y = -4x + 2.