Для нахождения производной функции f(x) = (3 + 4x)(4x – 3),мы можем воспользоваться правилом производной произведения двух функций. Пусть:

• u(x) = 3 + 4x
• v(x) = 4x – 3

Тогда функция f(x) может быть представлена как произведение u(x) и v(x): f(x) = u(x) * v(x).

Правило производной произведения гласит, что если f(x) = u(x) * v(x),то производная f'(x) будет равна:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

1. Производная u(x) = 3 + 4x: u'(x) = 4, так как производная от константы 3 равна 0, а производная 4x равна 4.
2. Производная v(x) = 4x – 3: v'(x) = 4, по той же причине: производная от константы 3 равна 0, а производная 4x равна 4.

Теперь подставим найденные производные и функции в формулу:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = 4 * (4x – 3) + (3 + 4x) * 4

Распределим множители в каждом слагаемом:

• 4 * (4x – 3) = 16x – 12
• (3 + 4x) * 4 = 12 + 16x

Теперь сложим полученные выражения:

f'(x) = (16x – 12) + (12 + 16x) = 16x – 12 + 12 + 16x

Сложим подобные члены:

• 16x + 16x = 32x
• -12 + 12 = 0

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = 32x