Как найти производную функции y, заданной как tg^3(2-3x)?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функция y tg^3(2-3x) алгебра 11 класс математический анализ дифференцирование тригонометрическая функция правила дифференцирования Новый

Для нахождения производной функции y = tg^3(2 - 3x) мы будем использовать правило цепочки и правило производной для функции тангенса. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Определим функцию:

   y = (tg(2 - 3x))^3

2. Применим правило цепочки:

   Если у нас есть функция вида f(g(x)), то производная этой функции будет равна f'(g(x)) * g'(x).

   В нашем случае f(u) = u^3, где u = tg(2 - 3x).

3. Найдем производную f(u):

   f'(u) = 3u^2.

4. Теперь найдем g(x):

   g(x) = tg(2 - 3x).

   Чтобы найти g'(x), воспользуемся производной тангенса: производная tg(u) равна sec^2(u) * u'.

5. Найдем производную g(x):

   g'(x) = sec^2(2 - 3x) * (-3), так как производная внутренней функции (2 - 3x) равна -3.

6. Теперь подставим все в правило цепочки:

   y' = f'(g(x)) * g'(x) = 3(tg(2 - 3x))^2 * sec^2(2 - 3x) * (-3).

7. Упростим результат:

   y' = -9(tg(2 - 3x))^2 * sec^2(2 - 3x).

Таким образом, производная функции y = tg^3(2 - 3x) равна:

y' = -9(tg(2 - 3x))^2 * sec^2(2 - 3x).