1) Решите неравенство: 4 sin(x/4) >= 2

Начнем с того, что упростим неравенство:

1. Разделим обе стороны неравенства на 4:
2. sin(x/4) >= 1/2.

Теперь найдем, при каких значениях аргумента синус равен 1/2. Это происходит в следующих точках:

• x/4 = π/6 + 2kπ, где k - любое целое число;
• x/4 = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь умножим каждое из уравнений на 4, чтобы выразить x:

• x = 4(π/6 + 2kπ) = 2π/3 + 8kπ;
• x = 4(5π/6 + 2kπ) = 10π/3 + 8kπ.

Таким образом, общее решение неравенства:

x = 2π/3 + 8kπ и x = 10π/3 + 8kπ, где k - любое целое число.

2) Найдите решение неравенства: из под корня 3ctg(π/4 - 2x) > 1

Сначала упростим неравенство:

1. Умножим обе стороны на 1/3 (так как 1/3 положительно, знак неравенства не меняется):
2. ctg(π/4 - 2x) > 1/3.

Теперь вспомним, что ctg(α) = 1/tan(α). Следовательно:

1/tan(π/4 - 2x) > 1/3.

Это означает:

tan(π/4 - 2x) < 3.

Теперь решим неравенство tan(π/4 - 2x) < 3. Для этого найдем, при каких значениях угла тангенс меньше 3.

Установим, что:

• π/4 - 2x < arctan(3) + kπ, где k - любое целое число;
• π/4 - 2x > arctan(3) + kπ, где k - любое целое число.

Теперь выразим x:

• 2x > π/4 - arctan(3) - kπ;
• x < (π/4 - arctan(3) - kπ)/2.

Таким образом, общее решение неравенства:

x < (π/4 - arctan(3) - kπ)/2, где k - любое целое число.

3) Решите неравенство: sin(x)cos(π/6) - cos(x)sin(π/6) > 0

Используем формулу синуса разности:

sin(x - π/6) > 0.

Теперь найдем, при каких значениях x синус положителен. Это происходит в следующем интервале:

• 0 < x - π/6 < π;

Теперь решим неравенство:

1. Добавим π/6 к неравенству:
2. π/6 < x < π + π/6.

Теперь преобразуем правую границу:

π + π/6 = 6π/6 + π/6 = 7π/6.

Таким образом, общее решение неравенства:

π/6 < x < 7π/6.