Решите неравенство: tgx ≤ √3

Алгебра 11 класс Тригонометрические неравенства алгебра 11 класс неравенство tgx √3 решение неравенств Тригонометрия математические задачи учебник алгебры подготовка к экзаменам Новый

Чтобы решить неравенство tg(x) ≤ √3, начнем с того, что мы знаем, что тангенс – это отношение синуса к косинусу, т.е. tg(x) = sin(x) / cos(x). Однако для решения данного неравенства мы можем использовать известные значения тангенса.

1. Определим значение угла

• Значение √3 соответствует углу 60 градусов (или π/3 радиан). Это значит, что tg(π/3) = √3.

2. Найдем, где tg(x) = √3

• Тангенс имеет период π, поэтому tg(x) = √3 будет выполняться в точках:
• x = π/3 + kπ, где k – целое число.

3. Анализируем неравенство

• Теперь нам нужно определить, где tg(x) меньше или равно √3. Мы знаем, что тангенс возрастает на каждом интервале (kπ, (k+1)π).
• На интервале (0, π) тангенс принимает значения от 0 до +∞. Следовательно, на этом интервале tg(x) ≤ √3 будет выполняться в интервале от 0 до π/3.
• На интервале (π, 2π) тангенс снова возрастает от -∞ до 0. В этом случае неравенство также будет выполняться на интервале от π до 4π/3.

4. Обобщим результаты

• Таким образом, обобщая, мы получаем, что неравенство tg(x) ≤ √3 выполняется на следующих интервалах:
• x ∈ [kπ, π/3 + kπ] ∪ [π + kπ, 4π/3 + kπ], где k – целое число.

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ [kπ, π/3 + kπ] ∪ [π + kπ, 4π/3 + kπ], где k – целое число.