1) Решите неравенство: 4 sin(x/4) >= 2

Для решения этого неравенства начнем с упрощения:

• Разделим обе стороны неравенства на 4:

sin(x/4) >= 1/2

Теперь найдем, при каких значениях аргумента синус равен 1/2. Вспомним, что:

• sin(π/6) = 1/2
• sin(5π/6) = 1/2

Таким образом, общее решение для sin(x/4) = 1/2 можно записать как:

x/4 = π/6 + 2kπ и x/4 = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь умножим на 4, чтобы выразить x:

• x = 2π/3 + 8kπ
• x = 10π/3 + 8kπ

Теперь нужно определить, когда sin(x/4) >= 1/2. Это происходит в интервалах:

• x/4 ∈ [π/6 + 2kπ, π/2 + 2kπ]
• или x/4 ∈ [5π/6 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]

Умножив на 4, получаем:

• x ∈ [2π/3 + 8kπ, 2π + 8kπ]
• или x ∈ [10π/3 + 8kπ, 6 + 8kπ]

2) Найдите решение неравенства: из под корня 3ctg(π/4 - 2x) > 1

Начнем с того, что для выражения под корнем должно выполняться условие:

3ctg(π/4 - 2x) > 1

Разделим обе стороны на 3:

ctg(π/4 - 2x) > 1/3

Теперь вспомним, что cotangent положителен в первом и третьем квадрантах. Мы можем записать это неравенство как:

cot(π/4 - 2x) = 1/tan(π/4 - 2x) < 3

Решим неравенство:

tan(π/4 - 2x) < 3

Теперь найдем, при каких значениях аргумента тангенс меньше 3. Это можно сделать, решив:

π/4 - 2x < arctan(3) + kπ

или

π/4 - 2x > arctan(3) + kπ

Решая эти неравенства, получим:

• 2x > π/4 - arctan(3) - kπ
• или 2x < π/4 - arctan(3) + kπ

Умножив на -1 и поменяв знак неравенства, получаем:

x < (π/4 - arctan(3) + kπ)/2

и

x > (π/4 - arctan(3) - kπ)/2

3) Определите, при каких значениях x выполняется неравенство: sin(x)cos(π/6) - cos(x)sin(π/6) > 0

Это выражение можно упростить с помощью формулы синуса разности:

sin(x - π/6) > 0

Теперь найдем, при каких значениях аргумента синус положителен. Синус положителен в первом и втором квадрантах:

• x - π/6 ∈ (0, π)

Решим это неравенство:

• 0 < x - π/6 < π

Добавим π/6 ко всем частям:

• π/6 < x < 7π/6

Таким образом, решение неравенства: x ∈ (π/6, 7π/6).