Как можно решить неравенство cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями решение неравенства алгебра 11 класс cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0 неравенства в алгебре тригонометрические неравенства Новый

Для решения неравенства cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование неравенства

Сначала мы можем воспользоваться формулой для косинуса тройного угла:

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x).

Подставим это в наше неравенство:

4cos^3(x) - 3cos(x) + 2cos(x) ≥ 0.

Это упрощается до:

4cos^3(x) - cos(x) ≥ 0.

Шаг 2: Вынесение общего множителя

Теперь вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(4cos^2(x) - 1) ≥ 0.

Шаг 3: Решение произведения

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое должно быть неотрицательным. Это значит, что:

• cos(x) ≥ 0 и 4cos^2(x) - 1 ≥ 0,
• или cos(x) ≤ 0 и 4cos^2(x) - 1 ≤ 0.

Шаг 4: Решение первого случая

Решим неравенство cos(x) ≥ 0. Это происходит в интервалах:

x ∈ [2kπ, (2k + 1)π], где k - целое число.

Теперь решим 4cos^2(x) - 1 ≥ 0:

4cos^2(x) ≥ 1,

cos^2(x) ≥ 1/4,

cos(x) ≥ 1/2 или cos(x) ≤ -1/2.

Решения для cos(x) ≥ 1/2:

x ∈ [2kπ, 2kπ + π/3] ∪ [2kπ + 5π/3, (2k + 1)π].

Решения для cos(x) ≤ -1/2:

x ∈ [2kπ + 2π/3, 2kπ + 4π/3].

Шаг 5: Объединение решений

Теперь объединим полученные интервалы:

• cos(x) ≥ 0: x ∈ [2kπ, 2kπ + π/3] ∪ [2kπ + 5π/3, (2k + 1)π],
• cos(x) ≤ -1/2: x ∈ [2kπ + 2π/3, 2kπ + 4π/3].

Таким образом, окончательно мы получаем:

x ∈ [2kπ, 2kπ + π/3] ∪ [2kπ + 5π/3, (2k + 1)π] ∪ [2kπ + 2π/3, 2kπ + 4π/3].

Шаг 6: Проверка

Не забудьте проверить границы и значения в каждом интервале, чтобы убедиться, что неравенство выполняется.

Таким образом, мы нашли все решения неравенства cos(3x) + 2cos(x) ≥ 0.