Срочно нужно решить неравенство:

sin(pi/6)*cos(x) + cos(pi/6)*sin(x) <= 1

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями неравенство алгебра решение неравенства тригонометрические функции sin cos pi/6 x математические задачи школьная математика Новый

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. Начнем с того, что у нас есть выражение:

sin(pi/6)*cos(x) + cos(pi/6)*sin(x)

Первым делом, вспомним, что sin(pi/6) и cos(pi/6) имеют известные значения:

• sin(pi/6) = 1/2
• cos(pi/6) = √3/2

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

(1/2)*cos(x) + (√3/2)*sin(x)

Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель:

1/2 * (cos(x) + √3*sin(x))

Теперь, чтобы решить неравенство, нам нужно определить, при каких значениях x это выражение больше нуля:

1/2 * (cos(x) + √3*sin(x)) > 0

Поскольку 1/2 всегда положительно, мы можем убрать этот множитель, не изменяя знак неравенства:

cos(x) + √3*sin(x) > 0

Теперь рассмотрим выражение cos(x) + √3*sin(x). Это выражение можно представить в виде:

A*sin(x + φ), где A = √(1^2 + (√3)^2) = 2 и φ = arctan(√3/1) = π/3.

Тогда мы можем переписать неравенство как:

2*sin(x + π/3) > 0

Делим обе стороны на 2 (так как 2 положительно):

sin(x + π/3) > 0

Теперь определим, при каких значениях x это неравенство выполняется. Синус положителен в интервалах:

• 0 < x + π/3 < π
• 2π < x + π/3 < 3π

Теперь решим каждое из этих неравенств:

1. Для первого неравенства:
• 0 < x + π/3 < π
• Отнимем π/3 от всех частей: -π/3 < x < π - π/3
• Это дает: -π/3 < x < 2π/3
2. Для второго неравенства:
• 2π < x + π/3 < 3π
• Отнимем π/3 от всех частей: 2π - π/3 < x < 3π - π/3
• Это дает: 6π/3 - π/3 < x < 9π/3 - π/3
• То есть: 5π/3 < x < 8π/3

Теперь объединим оба интервала:

Ответ:

x ∈ (-π/3, 2π/3) ∪ (5π/3, 8π/3)

Вот так мы решили данное неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!