Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 4 - 2x^2 + 7x^4, а также найти её экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов.

Для начала найдем первую производную функции f(x). Производная даст нам информацию о том, где функция возрастает и убывает.

f'(x) = d/dx(4 - 2x^2 + 7x^4) = -4x + 28x^3.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

-4x + 28x^3 = 0.

Вынесем общий множитель:

-4x(1 - 7x^2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

• -4x = 0 => x = 0;
• 1 - 7x^2 = 0 => 7x^2 = 1 => x^2 = 1/7 => x = ±1/√7.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1/√7 и x = -1/√7.

Теперь нам нужно определить, на каких промежутках функция возрастает и убывает. Для этого выберем тестовые точки в интервалах, определенных критическими точками:

• Выберем x < -1/√7 (например, x = -1): f'(-1) = -4(-1) + 28(-1)^3 = 4 - 28 = -24 (убывает);
• Выберем -1/√7 < x < 0 (например, x = -0.1): f'(-0.1) = -4(-0.1) + 28(-0.1)^3 = 0.4 - 0.028 = 0.372 (возрастает);
• Выберем 0 < x < 1/√7 (например, x = 0.1): f'(0.1) = -4(0.1) + 28(0.1)^3 = -0.4 + 0.028 = -0.372 (убывает);
• Выберем x > 1/√7 (например, x = 1): f'(1) = -4(1) + 28(1)^3 = -4 + 28 = 24 (возрастает).

На основе знаков производной мы можем сделать выводы:

• Функция убывает на промежутке (-∞, -1/√7);
• Функция возрастает на промежутке (-1/√7, 0);
• Функция убывает на промежутке (0, 1/√7);
• Функция возрастает на промежутке (1/√7, +∞).

Теперь найдем значения функции в критических точках, чтобы определить экстремумы:

• f(0) = 4 - 2(0)^2 + 7(0)^4 = 4;
• f(1/√7) = 4 - 2(1/7) + 7(1/49) = 4 - 2/7 + 7/49 = 4 - 2/7 + 1/7 = 4 - 1/7 = 4 - 0.142857 ≈ 3.857;
• f(-1/√7) = 4 - 2(1/7) + 7(1/49) = 4 - 2/7 + 7/49 = 4 - 2/7 + 1/7 = 4 - 1/7 = 4 - 0.142857 ≈ 3.857.

На основании значений функции в критических точках, мы видим, что:

• x = 0 - это максимум, так как функция меняет знак производной с положительного на отрицательное;
• x = 1/√7 и x = -1/√7 - это минимумы, так как функция меняет знак производной с отрицательного на положительное.

Таким образом, мы нашли:

• Промежутки возрастания: (-1/√7, 0) и (1/√7, +∞);
• Промежутки убывания: (-∞, -1/√7) и (0, 1/√7);
• Экстремумы: максимум в точке (0, 4) и минимумы в точках (1/√7, 3.857) и (-1/√7, 3.857).