Какова функция y=x^3+3x^2-4? Найдите: А) промежутки, где функция возрастает и убывает; Б) точки экстремума; В) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1].

Алгебра 11 класс Анализ функций функция y=x^3+3x^2-4 промежутки возрастания промежутки убывания точки экстремума наибольшее значение наименьшее значение отрезок [-4; 1] Новый

Для решения задачи начнем с анализа функции y = x^3 + 3x^2 - 4.

А) Найдем промежутки, где функция возрастает и убывает.

1. Сначала найдем производную функции:

y' = 3x^2 + 6x.

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x^2 + 6x = 0.

3. Вынесем общий множитель:

3x(x + 2) = 0.

4. Таким образом, критические точки:
• x = 0,
• x = -2.
5. Теперь определим знаки производной на интервалах, которые определяются критическими точками: (-∞, -2), (-2, 0), (0, +∞).
6. Выберем тестовые точки:
• Для x = -3 (интервал (-∞, -2)): y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 (положительно).
• Для x = -1 (интервал (-2, 0)): y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 (отрицательно).
• Для x = 1 (интервал (0, +∞)): y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 (положительно).
7. Таким образом, функция:
• возрастает на интервалах: (-∞, -2) и (0, +∞),
• убывает на интервале: (-2, 0).

Б) Найдем точки экстремума.

• Критические точки, которые мы нашли, это x = -2 и x = 0.
• Теперь подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
• y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0,
• y(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4.
• Таким образом, точки экстремума:
• В точке x = -2: (-2, 0) - максимум,
• В точке x = 0: (0, -4) - минимум.

В) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1].

1. Найдем значения функции в концах отрезка:
• y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20,
• y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.
2. Теперь сравним значения функции в критических точках, которые попадают в отрезок [-4; 1]:
• y(-2) = 0,
• y(0) = -4.
3. Теперь у нас есть все значения:
• y(-4) = -20,
• y(-2) = 0,
• y(0) = -4,
• y(1) = 0.
4. Наибольшее значение на отрезке [-4; 1]: 0 (в точках x = -2 и x = 1).
5. Наименьшее значение на отрезке [-4; 1]: -20 (в точке x = -4).

Итак, мы нашли все необходимые значения и промежутки для функции y = x^3 + 3x^2 - 4.