Чтобы подтвердить, что функция f(x) = x^3 + 5x является возрастающей, необходимо проанализировать её производную. Если производная функции положительна на определённом интервале, то функция будет возрастать на этом интервале.

Следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции f(x):

Производная функции f(x) обозначается как f'(x). Для функции f(x) = x^3 + 5x, производная вычисляется следующим образом:

• f'(x) = d/dx (x^3) + d/dx (5x)
• f'(x) = 3x^2 + 5
2. Анализируйте производную:

Теперь нужно выяснить, когда f'(x) > 0. Рассмотрим выражение:

• 3x^2 + 5

Так как 3x^2 — это квадрат, он всегда неотрицателен (то есть 3x^2 ≥ 0) для всех значений x. А добавление 5 делает это выражение всегда положительным:

• 3x^2 + 5 ≥ 5 > 0
3. Вывод:

Так как производная f'(x) = 3x^2 + 5 всегда положительна для всех x, это означает, что функция f(x) является возрастающей на всей числовой оси.

Таким образом, мы подтвердили, что функция f(x) = x^3 + 5x является возрастающей. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!