Давайте сначала разберемся с первым вопросом, где нам нужно найти значения sin α, cos α и ctg α, зная, что tg α = 3/5 и π < α ≤ 3π/2.

Шаг 1: Используем определение тангенса.

Тангенс угла α определяется как отношение синуса к косинусу:

tg α = sin α / cos α.

Из этого следует, что:

sin α = tg α * cos α.

Шаг 2: Определяем sin α и cos α.

Мы знаем, что tg α = 3/5, поэтому можно записать:

sin α = 3k, cos α = 5k, где k - положительная константа.

Шаг 3: Находим значение k.

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

sin² α + cos² α = 1.

Подставим наши выражения:

(3k)² + (5k)² = 1.

9k² + 25k² = 1.

34k² = 1.

k² = 1/34.

k = 1/√34.

Шаг 4: Находим sin α и cos α.

Теперь подставим значение k:

sin α = 3/√34, cos α = 5/√34.

Шаг 5: Учитываем знак в третьем квадранте.

Поскольку угол α находится в третьем квадранте (где синус и косинус отрицательны), то:

sin α = -3/√34, cos α = -5/√34.

Шаг 6: Находим ctg α.

Котангенс угла α определяется как обратное значение тангенса:

ctg α = 1/tg α = 5/3.

Таким образом, мы получили:

• sin α = -3/√34
• cos α = -5/√34
• ctg α = 5/3

Теперь перейдем ко второму вопросу, где нужно упростить два выражения.

2a) Упрощение (sin α + cos α)² / (1 + 2 sin α cos α).

Распишем числитель:

(sin α + cos α)² = sin² α + 2sin α cos α + cos² α = 1 + 2sin α cos α.

Теперь подставим в выражение:

(1 + 2sin α cos α) / (1 + 2sin α cos α).

Это сокращается до 1, при условии, что 1 + 2sin α cos α ≠ 0.

2b) Упрощение cos α / (1 + sin α) + tg α.

Заменим tg α на sin α / cos α:

cos α / (1 + sin α) + sin α / cos α.

Приведем к общему знаменателю:

cos² α / (cos α(1 + sin α)) + sin α(1 + sin α) / (cos α(1 + sin α)).

Это дает:

(cos² α + sin α(1 + sin α)) / (cos α(1 + sin α)).

Теперь упростим числитель:

cos² α + sin α + sin² α = 1 + sin α.

Таким образом, получаем:

(1 + sin α) / (cos α(1 + sin α)).

При условии, что 1 + sin α ≠ 0, мы можем сократить:

1 / cos α = sec α.

Итак, результаты упрощений:

• 2a) = 1
• 2b) = sec α